高中數(shù)學(xué)中不等式恒成立問題

文宇哲 湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)

高中數(shù)學(xué)中不等式恒成立問題

文宇哲 湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，不等式恒成立問題包含了倒數(shù)、方程、函數(shù)等主要性知識(shí)，很容易受到考查。而這些知識(shí)問題，若是沒有掌握好問題的關(guān)鍵，是很難解決的。本文對(duì)數(shù)學(xué)的恒成立問題進(jìn)行總結(jié)，并以實(shí)例進(jìn)行說明。

高中數(shù)學(xué) 不等式 恒成立

1 不等式恒成立問題概述

所謂恒成立問題，就是在已知條件下，無論變量如何改變，命題都成立。其典型思路也是由已知條件向各式子類型轉(zhuǎn)換為不等式恒成立解題，這是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)考察內(nèi)容。與一般學(xué)科不同，數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)學(xué)生們邏輯性和思考能力要求高，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，必須得提高自己這方面的能力，靈活運(yùn)用解題能力來解釋恒成立問題，才可以提升自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再困難。

2 關(guān)于不等式恒成立的解題思路

2.1 數(shù)形結(jié)合，直觀求解

所謂數(shù)形結(jié)合，就是依照函數(shù)和形之間相對(duì)應(yīng)的關(guān)系，通過相互轉(zhuǎn)換來進(jìn)行解答的數(shù)學(xué)問題。高考數(shù)學(xué)里，一員函數(shù)型、二次函數(shù)恒成立一般會(huì)出現(xiàn)在選擇填空中，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容相關(guān)：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)關(guān)系。②函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系。③曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。④以幾何為背景形成的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等。

2.2 運(yùn)用歸化解題思路，分離變量法

分?jǐn)?shù)參離在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，遇到含有不同參數(shù)的不等式恒成立問題時(shí)，把有參數(shù)的不等式進(jìn)行變形，分離題型的參數(shù)，將復(fù)雜的不等式恒成立問題簡化，讓不等式的解析式只有一方是含有參數(shù)的解題方式。

2.3 解析一元函數(shù)、二次函數(shù)恒成立的難題

函數(shù)最值法是數(shù)學(xué)恒成立問題常見的解題方法，即與自身熟悉的知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，依照題型指示，通過函數(shù)最值法解答數(shù)學(xué)問題。其中最值法又主要分為兩點(diǎn)：

首先，一次函數(shù)恒成立。一次函數(shù)的恒成立主要是在求各個(gè)變量的范圍，例如普通一次函數(shù)f(x)=kx+b(b0)，若函數(shù)f(x)在 [m，n]范圍內(nèi)恒有f(x)＜0或者f(x)＞0，求k值的范圍。在該類型恒成立問題的解題過程中，可根據(jù)函數(shù)取值大小范圍、基本性質(zhì)、和單調(diào)性進(jìn)行解題。

其次，二元函數(shù)恒成立。二次函數(shù)法f（x)不同的x值范圍，函數(shù)的增減性不一樣，二次函數(shù)的圖像有最值，并且是函數(shù)增減性的分界點(diǎn)。因此，在解決二次函數(shù)恒成立問題時(shí)，要結(jié)合到圖像特點(diǎn)進(jìn)行討論。

例如，設(shè)f(x)=(m-1)x2+(m-1)x+2＞2的解集為R，求m值范圍。解題思路如下：依照函數(shù)討論（m-1）及=Δ（m-1）2-8(m-1)的范圍，進(jìn)而求m范圍。當(dāng)m-1=0時(shí)，m=1，f(x)=2＞0成立。當(dāng)m-10時(shí)，m1，要遵循該函數(shù)的特性，

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，解決恒成立問題的方法很多除了常見的分離變量法、函數(shù)最值法和數(shù)形結(jié)合法外，還有其他很多解題方法。只要我們充分考慮到問題的性質(zhì)和特點(diǎn)，就可選擇合理合適的方法。對(duì)數(shù)學(xué)恒成立問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。平時(shí)勤于練習(xí)，熟悉思路方式，積極總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，才可以真正提升自己的邏輯思維能力和解決問題的能力，最后在高考數(shù)學(xué)中得到令人滿意的考試成績。

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