數的整除

文︳張新春

數的整除

文︳張新春

數論是一門研究整數性質的學問，包括初等數論、解析數論、代數數論、丟番圖逼近論、超越數論等分支。初等數論以算術方法為主要研究手段。為了與數的四則運算這種算術進行區分，也有人把初等數論稱為高等算術。初等數論的最基本內容一直是小學數學的基礎內容之一。由于其概念多，概念之間的聯系緊密，并且很多時候都需要學生借助概念進行思維，對于以形象思維為主的學生來說，這部分內容是難點。但正因為初等數論的這些特點，也使得它成為培養學生思維能力的絕好材料。

初等數論的研究對象主要是整數。整數指的是…，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，…。非負整數0，1，2，3，4，5，…稱為自然數，而非0自然數就稱為正整數。

整除有兩種定義方式，一種是用除法定義：如果整數a除以整數b（b≠0），商是整數，且沒有余數，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。還有一種是用乘法定義：稱一個整數a能被另一個整數b（b≠0）整除，如果存在第三個整數c，使得a=bc。

目前的教材在編寫時應用了用乘法定義的“整除”的內容而去掉了“整除”的名稱。比如：通過舉例2×6=12，我們把2和6都叫做12的因數，12則是6的倍數，也是2的倍數。這里就用了整除的乘法定義。

就我們習慣用除法定義整除的形式而言，若從較嚴格的角度考察，也還存在一些問題。比如最直接的是：任意兩個整數相除（當然除數不為0），都會存在一個商和一個余數（有時候為0）嗎？對確定的兩個整數而言，商和余數都是唯一的嗎？理由是什么呢？下面，我們就從較嚴格的角度考察數的整除。

如果把整數放到數軸上，那將是一些離散的點。

任何兩個整數進行加、減或乘，其結果仍是整數。這個顯然的特性，在數學上有一個專業的表述，叫做“整數集合對于加、減和乘法封閉”。但對于除法，情況就復雜一些。比如，兩個整數a，b的商b≠0），這時，商當然是有理數，但未必是整數（盡管有可能）。但如果把這個商放在數軸上，要么和某個整數重合，要么介于兩個相鄰的整數之間。兩種情況必居其一。不管出現哪種情況，以下表述所對應的整數總是存在的，并且是唯一的：

我們用一個專門的符號表示這個整數，就是[α]，這里的α可以是任意數。比如[2]=2，[-3]=-3，[π]=3，[-π]=-4。觀察以下圖示：

在小學數學中，我們習慣把a=bq+r記作以下的形式（當然，通常是在r不為0的情況下才這樣記）：a÷b=q……r。

有這種意義上的不完全商和最小正剩余的除法，就叫作帶余除法。這也說明，我們通常所謂的余數，是在整數除以整數，商也是整數的意義上說的，即一般不會說商是2.4，或余數是0.6之類。

我們之所以只考慮除數b＞0的情況，是因為如果除數b＜0的話，我們可以考慮，此時就轉化為除數大于0的情況了。

簡單地說，就是任意兩個整數相除（除數大于0），其商要么是整數，要么就可以找到一個比這個商小，但最接近這個商的整數。后一種情況下的商是不完全商，被除數減去除數與不完全商的積，得到的數是最小正剩余，即通常所說的余數，余數要比除數小。而前一種情況，就是我們所說的整除。即對于整數a和整數b（b≠0）來說，如果存在第三個整數c，使得a=bc，則稱整數a能被整數b（b≠0）整除。

如果一個整數a能被另一個整數b（b≠0）整除，我們記為b|a。顯然，對于任意的整數a，都有1|a。而對任意的b（b≠0），有b|0。對任意a≠0，有a|a。但通常不說0|0。盡管的確存在整數c，使得0=0·c。

事實上，對任意的c，上述等式都成立，也許正由于不唯一性，使得我們通常不認為0|0。不過也有例外的說法，U·杜德利在教材《基礎數論》中有一個練習題：“哪些整數整除零？”教材提供的答案是“所有整數”。（[美]U·杜德利.基礎數論[M].上海科學技術出版社，1980）所有整數當然包括0。U·杜德利在定義整除時并沒有規定b≠0，這至少說明，承認0|0也不會出現邏輯上的問題。從而我們可以這樣認為，即討論0|0是否成立并不是一個本質的問題。這個問題的答案取決于你如何定義整除。具體地說，就是你在定義整除時是否規定b≠0。不管規定b≠0還是不作這樣的規定，都能自圓其說，都不會對數學產生什么實質性的影響。這也提醒我們，和小學生討論“0是不是整除0”這樣的問題是不恰當的，在小學生的作業或測試卷中出現這樣的問題也是沒有必要的、是不恰當的。若學生問到這類問題，可能的話，盡量把問題的相關背景告訴學生，不僅能保護學生的學習積極性，更重要的是讓學生逐步形成科學的數學觀。即逐步認識到數學“主要的應被看成人類的一種創造性活動，也即是一個包含有猜測、錯誤與嘗試、證明與反駁、檢驗與改進的復雜過程”。（鄭毓信.數學教育哲學的理論與實踐[M].廣西教育出版社，2008）

在本章接下來的討論中，我們約定，若稱整數a能被整數b整除，就表明b≠0。

關于整除，以下的結論是顯然的。

若b≠0，c≠0，則

（1）若b|a，c|b，則c|a；

（2）若b|a，則bc|ac；

（3）若c|d，c|e，則對任意的m，n，有c|dm+en。

我們只證明（3）。

因為c|d，由整除的定義，存在整數g，使得d= cg。

同理，存在整數h，使得e=ch。

于是，對任意的m，n，dm+en=cgm+chn=c（gm+ hn）。即對于整數dm+en和整數c≠0，存在整數（gm+hn），使得dm+en=c（gm+hn）。

由整除的意義，上式就意味著c|dm+en。