論信息技術在優化數學教學環境中的獨特作用與機制（下）

文︳黃秦安

論信息技術在優化數學教學環境中的獨特作用與機制（下）

文︳黃秦安

三、信息技術融入數學教學的情境設計

關于數學教學的情境，有學者提出把數學知識作為一種媒介或交流的方式，強調了教與學的互動。這種研究視角特別關注到了數學教育理論與數學教學實踐之間的復雜關系，并從教學情境理論中發展出一種互動理論，對數學交流的認識論進行了分析。[2]在信息技術領域，對信息技術與數學教學的整合研究是最富有成果的。有學者從信息技術與數學教學整合的視角對探究教學模式進行了研究。[3]XitaoFeng在“信息技術與初等數學教學的整合研究”一文中，對信息技術與數學教學的整合進行了綜述。[4]比紹普等著名學者編著的《數學教育國際手冊》第2卷第2章“數學教育對技術發展的回應”中，對技術與數學教育的多維度觀點、技術對數學課程的影響等進行了深入的探討。[5]但從整體來看，把技術看做是一種獨特情境的研究則相對較少。這也是信息技術與數學教學整合過程中遭遇的一個瓶頸。我們提出信息技術與數學教學情境深度融合的視角，其目的就是想在這一研究方向上予以突破。

信息化的數學教學情境對數學教學的內外部環境、對數學學習和數學認知的發展都具有極其重要的意義。通過對數學情境的相關因素深入分析，特別是注意到當代信息技術對教學范式產生的持續且重要的影響，我們可以探索數學教學情境與信息技術境相互融合的建構。

1.信息化虛擬教學空間的創制。教育信息技術的不斷更新與進步為更加有效地創制數學教學情境開辟了廣闊的多媒體虛擬化教學空間。例如，在幾何教學中，關于兩個三角形的全等概念以及判定定理的比較好的教學情境設計可以通過幾何畫板等軟件予以動態演示，使幾何問題情境以更

再如，在指數函數y=ax的教學中，底數的變化以及相應的圖像是教學的一個難點，可利用幾何畫板畫出y=3x，y=2x，y=（）x，y=（）x的圖像（如圖1）。這樣一來，底數a的取值與其函數圖像的變化趨勢就十分清晰地展現出來了。教師還可以把教學過程設計成動態展示，學生就可以更明顯地看出隨著a的變化，函數圖像跟著聯動的趨勢。如此，指數函數的教學效果就會得到很大的提高。加形象和生動的方式呈現。通過動畫探索，學生會發現哪些要素能夠確定，哪些不能完全確定。比如，只有兩個角及其夾邊、兩條邊及其夾角的破損三角形是否可以完全配制出大小形狀一樣的三角形？亦即確定三角形的基本要素是什么？反例是只有三個角是不能確定三角形的。這就為三角形全等的判定設置了較佳的情境。

圖1

2.提高探究性問題的直觀感。有些探究性問題，借助幾何畫板，可以提升學生的幾何感知力和想象力。如這樣一個問題：現有圓O，求在沿直線AB滾動的過程中，圓上任意一定點D的軌跡。

如圖2所示，先采用幾何畫板清晰地展現點D的運動軌跡，讓學生對運動軌跡有一個生動的直觀印象。進而采用建立平面直角坐標系的方法，可以根據題設條件求出D點的運動參數方程。

圖2

3.充分利用現代技術，增強數學問題解決的方法和途徑。

比普通計算器功能更強大的是圖形計算器。圖形計算器可以提供一種問題探究的微型信息場。運用圖形計算器的各種功能，教師可以營造出適宜于開展問題解決的具有個性化和虛擬化的探究氛圍。例如，采用牛頓迭代法求方程x3+2x2+10x-20=0的近似解（精確度為10-6）。牛頓迭代法的實質是以切線代替曲線求近似解，即切線逼近的方法。在這個過程中，設曲線方程為y=x3+2x2+10x-20，取方程根的初始近似值x0，過點（x0，f（x0））作方程的切線l，則切線l的方程為y=f′（x0）（x-x0）+（fx0），切線與x軸交點的橫坐標x1=x0-稱為曲線方程根的一次近似值，以x1代替x0作為方程根的近似值，重復上述過程直到相鄰兩個近似值的差小于0.00001為止。教師可以引導學生通過逐步探究掌握牛頓迭代思想，得出方程的近似解。

圖3

圖4

在圖形計算器中輸入y=x3+2x2+10x-20，所畫出的圖形如圖3。從圖3中可以看出，方程的解在1，2之間，取值2作為方程根的一個近似解。過點（2，16）作曲線的切線，與x軸交于一點，求出其橫坐標為。以作為新的近似值，繼續作曲線的切線。如圖4所示，可見切線與x軸的交點逐漸趨于曲線的根。

然后，通過前兩步的探究，再通過逐次迭代，可以得到曲線更為精確的近似解，為1.368808（見圖5）。這樣教學，學生可以充分感受牛頓迭代過程中切線逼近的思想，發展想象力。

圖5

四、信息技術優化數學教學環境的機制

當代教育技術范式的構建是基于其與傳統教學的深度融合。信息技術氛圍對于充分展示、激發并調動個體的認知活力和思維創造力有獨特的作用。教與學兩個維度的主體性以及主體間性在信息技術環境中可以實現廣泛的交互作用。高度信息化的認知與思維情境可以最大程度地調動主體的信息意象性和信息浸入度。構建良好的信息化的數學教學情境，對于數學知識的教學具有很好的導向性。

數學與信息技術的新紐帶必然要求數學教學從內容到形式的改變。從數學課程的設置看，離散數學課程的重要性日益凸顯，并要求數學教學的內容與之相適應。例如，數學計算的概念在計算機時代，其含義不斷地被更新，彰顯著計算在科學技術發展中的重要性，量子計算、云計算等概念都是傳統的計算概念難以容納和涵蓋的。信息技術建立了數學與現實世界的新關聯應該在數學教學中得以體現。數學的虛擬與仿真結構對數學教學環境而言，是一場深刻的變革。

在數學教學信息技術情境的構建中，師生的共識、交流和合作是十分重要的。建構主義的倡導者維果斯基雖然強調了學生自己活動的重要性，但他接著解釋說，這并不意味著教師角色的消失。[6]數學教學的基本過程就是一個客觀的、社會化的數學知識與個體知識結構、認知結構和心理結構的交互轉換。而在這一過程中，信息技術（包括計算機網絡、無線通訊、數據處理等）對于主體之間的有效聯系和溝通所具有的價值已日益明顯。由于信息技術的使用，主體間性的空間被放大了，主體間性的交流平臺更加寬闊了，傳統的教學話語模式得以改變。例如，在傳統范式下，教師對信息和語言符碼的控制近乎一種知識話語的絕對權威形式，而在信息化的時代，學生獲取信息的速度和方式甚至經常會超越老師，這種反向偏態化使得教師的話語權威受到了挑戰。但這并不意味著師生共同體結構的完全顛覆，而是預示著教師對自身角色的新的預期和造就。由于信息化的共享性，數學教學的主導方式會沿著主體雙向互動的方向前行。

數學教學中，信息化會帶來資源共享和信息交換的新途徑。信息化可以促進個性化的學習。在信息技術快速發展的條件下，信息和學習資源日益豐富。以不同信息形式表征的知識，給學習者提供了多樣的選擇。學習者可以選擇最適合自己學習心理和認知習慣的知識信息形式，以達到最佳的學習效果。

以個體心理認知的發展為例。為了發展個體的心理認知，必須保持心理認知結構的開放性、動態性和兼容性。其中概念的認知圖式（更廣義看是心理圖式）需要不斷地進行相關信息的重組、轉換、接合、擴展、壓縮和系統化。當知識圖式擴展后，最初知識的某些信息界限就被突破了，而有些則保持下來，還有一些新的信息值被添加進來。由于信息域的開放度是隨著知識的拓展而不斷增加的，因此，心理容量和認知度應該與信息的負荷保持一種平衡。否則，當信息量過載時，個體認知沒有得到很好的調整，障礙和沖突就較多，容易發生遷移與轉換的困難。例如，小數不能減大數（小學知識的信息限閥）、負數不能開平方（初中知識的信息限閥）、狄利克雷函數不可積（黎曼積分的信息限閥）等固有知識觀念形成的認知定勢，都需要隨著知識域的演變和推進，通過新信息的輸入和組織以獲得相應的轉換。

從語言心理學的角度看，上述問題的本質就是信息的展現形式對于學習者數學語言的發展的機制。這里，如何幫助學生適時地、連續地完成以信息形式呈現的邏輯、語言、技術與心理意象的不斷形成和轉換，就成為數學教育心理學的重要課題。信息技術的適當使用可以促進個體數學心理意向的發育。良好的信息技術境可以為學習者提供一個階梯型和網絡式的認知心理發展平臺。在這個過程中，信息技術的合理使用會極大地增加數學教學環境的空間容量和變換方式，使得學生在一種放大的、更為逼真、更多虛擬想象的數學教學空間中感知數學的對象、關系和結構。

作為數學學習活動的基礎和重要組成部分，信息技術境所營造的數學教學情境場可以成為主體間性信息交流的一種主要存在方式。其中信息的載體和轉換能夠在廣深的場域中展現數學教學與學習的立體維度。數學教學的全過程都可以看做是一種基于情境與信息技術境的場互動形式。以多元技術方式為依托，在信息的提取、加工和轉換過程中，數學教學的多維目標可以更好、更快地得以實現。

（作者單位：陜西師范大學數學與信息科學學院）

[1]中國科學院數學物理學部.今日數學及其應用[J].數學通報，1994（7）：1-12.

[2]Steinbring H.Analyzing Mathematical Teaching -Learning Situations：The Interplay of Communicational and Epistemological Constraints[J].Educational Studies in Mathematics，2005，59（1）：313-324.

[3]徐梅芳等.信息技術與數學教學整合構建“探究”教學模式的研究[J].中國電化教育研究，2005（1）：52-55.

[4]Xitao Feng.Study about Integration of Information Technology and Primary Mathematics Teaching [J].Education and Educational Technology，2012（10）：407-412.

[5]AlanJ.Bishop.Second International Handbook of Mathematics Education[M].Kluwer Academic Publishers，2003.

[6]Bert Van Oers.Educational forms of initiation in mathematical culture[J].Educational Studies in Mathematics，2001，46：59-85.