復值函數的導數及其應用

□陳 歡

（陜西國際商貿學院基礎部 陜西 咸陽 712046）

復值函數的導數及其應用

□陳 歡

（陜西國際商貿學院基礎部 陜西 咸陽 712046）

本文研究了復值函數的分析性質,提出了復值函數單側導數的概念。給出了復值復合函數的求導法則。證明了復值函數在一點可導必連續。給出復值函數在求解中的應用例子。

復值函數；復合復值函數；復值函數單側導數；復值復合函數的導數

1 復值函數的概念

根據實值函數的概念，引入復值函數的概念與復合復值函數如下：

定義1.1[3]設y=φ(t)和y=ψ(t)是區間[α,b]上的實函數，是虛數單位. 如果對于區間[α,b]中的每一個實數t，有唯一復數z(t)=φ(t)+iψ(t)與它對應，則稱在區間[α,b]上給定了一個復值函數，記作z=z(t)，t?[α, b].

定義1.2（復合復值函數）設有一個復值函數w=f(u)與實函數u=φ(t)

w=f(u),u?D?R,

u=φ(t),t?E?R,u?R

記E*={t|φ(t)?D}∩E。若E*不為空，則對每一個t ?E*，可通過實值函數u=φ(t)對應D內唯一的一個值u，而u又是通過復值函數f(u)對應唯一的一個值w。這就確定了一個定義在E*上的復值函數，它以t為自變量，w為因變量，記作

w=f[φ(t)],t?E*或w=(f ?φ)(t)，t?E*

稱為復值函數f(u)和實值函數φ(t)的復合函數。并稱f(u)為外函數，φ(t)為內函數，u為中間變量。復值函數f(u)和實值函數φ(t)的復合運算也可記為f ?φ。

定義1.3 設z(t)=φ(t)+iψ(t)是定義在區間α≤t≤b上的復值函數，若φ(t)和ψ(t)均是α≤t≤b上的有界函數，則稱z=z(t)是α≤t≤b上的有界復值函數。

2 復值函數的導數

定義2.1（在一點可導） 設復值函數z=z(t)在區間[α,b]的某個鄰域U(t0)上有定義，若極限

存在，則稱復值函數z=z(t)在t0處可導，并稱該極限為復值函數z=z(t)在點t0處的導數，記作z'(t0)或者dz(t0) /dt。

定義2.2（單側導數）設復值函數z=z(t)在區間[α, b]上一點t0的某右鄰域[t0,t0+δ]上有定義，若右極限

存在，則稱該極限值為z=z(t)在點t0的右導數，記作z'+(t0)。

右導數和左導數統稱為單側導數。

定義2.3（在區間上可導） 如果復值函數z=z(t)在區間[α,b]上每一點都可導，且在α點存在右導數，在b點存在左導數，那么就稱復值函數z=z(t)在區間[α,b]上可導。

設z1(t)，z2(t)是定義在區間α≤t≤b上的可導復值函數，c是復值常數，容易驗證下列復值函數的求導法則[3]：類似的，可定義左導數

3 復值復合函數的導數

定理4.1 設實函數u=r(t)在點t0可導，復值函數g=z(u)在點u0=r(t0)可導，則復值復合函數(z ?r)(t)在t0可導，且

(z ?r)'(t0)=z'(u0)r'(t0)=z'(r(t0))r'(t0)

定理4.2 復值函數z=z(t)在t0處可導，則它在t0處連續。

例4.1 討論復值函數z(t)=1/t2+iet在t=1的連續性。

解 因為實函數φ(t)=1/t2和實函數ψ(t)=et在t=1處均是可導的，所以z(t)=1/t2+iet在t=1處可導，根據定理3.4可知z(t)=1/t2+iet在t=1的連續性。

結束語

本文首先引入復值函數的概念，給出了復值函數連續、單側導數的概念以及復值復合函數的求導法則。可導性是復值函數的一個重要性質，本文還給出了復值函數在一點可導必連續，具有重要的應用價值。

[1]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程.第三版.北京：高等教育出版社，2006.

1004-7026（2017）10-0126-01

O174.1

A

10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.10.091

陜西國際商貿學院校級項目（SMXY201642）。

陳歡（1989-），女，陜西漢中人，碩士，助教,從事小波分析的研究。