素養導向的數學教育若干問題

張僑平 林智中

發展中國學生的數學素養，既需要保持我們自身數學教育的特長，也要學習借鑒國外教育的先進經驗與理念，既不妄自菲薄，又要兼容并包，堅持走中國特色的數學教育之路。

數學教育領域中，“數學素養”一直是許多國家數學教育的重要目標。我國學者對數學素養的探討由來已久（孔企平，2001），遠早于歐盟和OE⑶的框架及PISA測試中所倡導的素養。在各地數學課程文件的論述中，數學素養也有著不同的表述[1]。數學素養的內涵隨著時代不同、研究者關注的焦點不同而出現差異，這些差異也與各地的社會文化背景有關。即便在PISA測試中，其對數學素養的界定也在發生改變。

“數學素養”與“數學核心素養”

“數學素養”作為一個專門名詞出現在我國課程大綱和課程標準中是1992年頒布的《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱（試用版）》，其中提到“使學生受到必要的數學教育，具有一定的數學素養，對于提高全民族素質，為培養社會主義建設人才奠定基礎是十分必要的”。在其教學目的中著重提到：必需的代數、幾何基礎知識與基本技能，運算能力，邏輯思維能力，空間觀念，運用所學知識解決簡單的實際問題，良好的個性品質和初步的辯證唯物主義觀點。其要求同之前比并沒有太多區別，基礎知識和基本技能、運算能力、邏輯思維能力和空間觀念、解決實際問題的能力始終是重要的目標。

這里需要提及的是，大綱要求的辯證唯物主義觀點，包括“數學來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點；數學中普遍存在的運動變化、相互聯系、相互轉化等觀點”，與后來課程標準中提到的數學思想方法其實是相關的。

2000年2月出版的《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱（試用修訂版）》中也提到“數學素養”，但在教學目的中增加了“逐步形成數學創新意識”，這可以說是“數學素養”內涵的擴充。

2001年我國首份數學課程標準《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中沒有提及“數學素養”，不過在數學課程目標方面，期望學生在知識與技能、數學思考、解決問題、情感與態度四個方面得到發展，就課程學習的具體層面來說，包括“發展學生的數感、符號感、空間觀念、統計觀念，以及應用意識與推理能力”。

到2011年《義務教育數學課程標準》修訂版出臺，“數學素養”明確出現在文本中，同樣沒有對其進行明確界定，但明確提出要注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想、應用意識和創新意識，并對其進行了解釋。

可以看出，一些核心詞比如數感、符號意識、數據分析觀念，均是新課程改革前數學大綱中沒有專門提及的，這與課程改革參考和吸收國外經驗有關。另外，或許正是因為我國新課標中沒有明確界定“數學素養”，不同學者對“數學素養”及數學核心素養內涵有不同理解。比如，馬云鵬教授認為，“數學素養”是對學生學習數學而言全面的、整體的素養，而數學核心素養是數學素養中重要的、關鍵的部分。2001年版課標中的6個核心詞與2011年版修訂版課標中的10個核心概念，都可以理解為數學核心素養。數學核心素養是數學學習者在學習數學或者學習數學某一領域所應達到的綜合性能力，它基于數學知識與技能，又高于具體的數學知識和技能。它是數學基本思想在學習某一個或幾個領域知識的具體表現（馬云鵬，2015）。

孔企平教授（2016）也認為，數學核心素養是數學情感態度、數學知識和技能、數學思維和數學能力的綜合體現。前面提到的10個核心概念中的應用意識和創新意識屬于數學情感范疇，其余8個屬于數學能力范疇。這種觀點與2001年課標提到的四個方面是一致的。當然，國內還有其他學者提出不同的對“數學素養”的理解（桂德懷、徐斌艷，2008；何小亞，2015），大都以概念性討論為主。

在不同語境和文化背景下，同一個詞匯可以有不同的理解，不同的詞匯也可能表達相似的含義。對我們來說，更重要的是了解這些說法或者詞匯背后的含義，亦即究竟什么是數學素養？它的結構、特質是什么？當我們將新課標中數學素養的內涵與其他國家或國際組織的數學素養進行比較時可以發現，世界各地對數學素養的理解有共性：數學素養不只是數學的成就表現，它是個人數學知識、數學思維、數學能力、數學情感的綜合體現，是一個人在面對各種復雜情境和實際問題時，以積極主動的態度，靈活地運用數學

知識和思維方法，有效地使用輔助工具，進行推理、交流、分析和判斷解決問題的綜合能力。

也有學者嘗試區分一般意義的素養和核心素養（崔允溝，2016；張華，2016）之間的關系。但總體上看，對核心素養的討論和關注更多。同時，在其他國家的課程文件中，我們也很難看到“數學素養”和數學“核心素養”二者的明顯區分。素養是人在特定情境中綜合運用知識、技能和態度解決問題的高級能力，而核心素養普遍被看作“21世紀素養”，是人適應信息時代和知識社會的需要，是解決復雜問題和適應不可預測情境的高級能力（張華，2016）。

數學教學中落實核心素養的兩種路徑

通過確立學生核心素養來引領學校的課程及教學改革，已經成為一股潮流（劉堅等，2016）。我國臺灣地區發展核心素養的模式，是“核心素養獨立于課程體系之外，由專門的機構進行研制和開發，之后逐漸與課程和教學相融合”（辛濤、姜宇、王燁輝，2014）。如何落實課程規劃和教學，學者蔡清田（2016）也給出了一些建議。但對教師來說，理論上的說明和建議仍欠具體，如何有效地落實核心素養導向的教學仍未明確。

（1）統整課程：更為理想的素養導向模式

在學校內部，課程組織的形式多種多樣，例如學科本位、平行學科、多學科、科際統整、統整日、完全統整課程等（Jacobs，1989）。在素養導向下，哪種課程組織形式更能促進學生的發展？素養導向的教育是期望學生能在真實場景中動手完成任務，能解決具體問題、創造性思考。要達到這個目的，學生應在學習歷程中有豐富的機會學習真實世界的種種現象，并且思考如何解決真實的問題。因此，不少學者指出，統整課程是培養學生素養較為理想的模式（蔡清田，2016；鐘啟泉，2016； Tiana， Moya， & Luengo， 2011）。分科課程與培養學生的素養之間存在矛盾，不能有效地幫助學生全面成長（竇桂梅、胡蘭，2015）。

統整課程具備一些重要的特性，能配合核心素養導向的教育目的。比如，統整課程圍繞現實生活中重要的個人和社會問題；學習經驗應由課程組織中心的情境與合適的知識結合而成；課程強調采用與真實生活相關的專題或學習活動；課程的設計要有學生參與（林智中、陳健生、張爽，2006）。

相比分科課程，統整課程有很多優勢。然而，我們也要看到，學科為本的課程組織形式是根深蒂固的，特別是在高年級學段。要以統整課程形式組織整個基礎教育乃至高中階段的課程，會困難重重。這不僅與學科本身的特點有關，還因為它會直接沖擊教師固有的知識和信念。課程改革的努力需要根植于教師的專業生活和發展的理解，特別是讓教師能“擁有”改革。

（2）學科為本的課程：呼喚多樣化的教學樣態

教育改革中能鼓勵發展跨學科課程固然不錯，但學校課程還是以學科為骨干，大多“依據學科邏輯確定課程內容，以學科知識結構及其知識發展邏輯為依據的課程內容的確定與教材編撰，路徑相對明確”（石踏，2016）。學生還是以分科學習中文、英語、數學、科學等學科為主。如果學科課程純粹是基于學科的知識邏輯，便難與真實情境結合，學生與真實情境的互動機會不多，就很難促進學生的素養生成。那么，分科課程是否完全不能實現核心素養導向的教學呢？

Saavedra & Opfer （2012）在分析如何有效地

教授學生掌握“21世紀技能”的大量文獻后指出，學習科學（science-of-learning）的專家們認同學生需要通過學科來學習。這些學科包括（但不局限于）“本地語言及外語、科學及社會科學，數學，藝術及音樂”。由此看來，在學科課程中，我們需要的是以“新穎”的形式組織課程和施教，也能有效地培養學生的素養。

在第18屆兩岸三地課程理論研討會上，不少學者有這樣的共識，學校培養核心素養的一個重要條件是打破學科的藩籬，而跨學科課程是主要方式。在數學課程中，將語文閱讀和數學教學結合便是一例。香港地區在新課程改革中提出“學會閱讀”這一關鍵領域（香港課程發展議會，2001），最近更新為“從閱讀中學習”（香港課程發展議會，2014）。通過教師介紹、創作數學故事，將課程內容融人其中，講授數學知識，同時通過學生閱讀分享活動，將閱讀文化深人數學科的課程，也提升了學生表達技巧。另外，世界各地推行STEM的熱潮，我們也能感受到跨學科課程學習的力量。當然，或許有人擔心，跨學科課程學習是否沖淡了“數學味”，數學學科自身的體系會不會迷失？這些問題也值得我們進一步討論。

在學科為本的課程中達成素養導向的教學，可以采取不同的教學策略。例如，香港地區在課改推行過程中，地理科推行議題為本（issue-based）的教學；在英文科，出現課業為本（tasked-based）的教學。而探究式（inquiry-based）教學也愈來愈被老師采用。探究式教學策略并不是單一形式的，應以教師導引的水平和學生學習的自主能力而有不同的形式（見表1）。

探究學習可以激勵學生和幫助他們成為主動的學習者，懂得合作和進行批判性思考，并學會解決問題和作出判斷。在推行地理探究學習時，教師鼓勵學生提出地理問題并自行尋找答案；根據獲取的數據和經驗，學生可以從不同的角度思考議題或問題。當學生參與議題研究時，他們能同時學會對學習負更多責任。因為學生學會自主學習，教師便更容易采用多種教學策略解決有關學習差異問題。

數學課上，教師可以通過活動設計讓學生在活動中探索數學概念、定理或公式的產生過程，培養自主學習能力，代替教師直接講授。例如，初中一年級在幾何簡介單元教授“三角形內角和為180度”這一課題。這個定理倘若直接講授，然后練習相應計算，不會影響后續幾何學習，起碼在知識和技能運用層面不會。素養導向下的教學，教師大都會讓學生經歷猜想到驗證的過程，設計活動，親身體驗三角形三個內角相加的結果為定值。這些活動包括用量角器直接量度內角并相力卩；將給定三角形的三個內角撕下來或者剪掉并接在一起，理解相加等于平角；運用數學軟件，隨意改變三角形三個內角度數，觀察其總和的變化規律。在這些活動中，學生能有機會自行發現數學的規律并進行驗證，數學的結論不都是教科書規定和教師教授的，數學可以在自己的手頭上產生，這也影響著學生對數學的態度和有助于提升學習數學的信心。

數學課堂的組織形式也需要多樣化。數學游蹤（mathematicstrial）是另外一項延伸課堂數學學習的活動，在香港地區已推行十多年。數學游蹤可以是校內活動，也可以是參加校際比賽形式。學生將學習所得運用到真實環境中，通過觀察、量度、估計及計算等活動解決問題。數學問題均是學生身邊的事物，觸手可及、親眼可見，作答方式自由，需要小組合作共同答題。既能提升學生的興趣，培養他們的正向態度，也能應用課程內容于實際，提升解決問題能力，增進學生之間的溝通和合作。

來自素養評估的巨大挑戰

作為教學的重要環節，評價也相當重要。

如何評估學生的數學素養？一些大型的國際測試（如PISA， TIMSS），問題的形式多為選擇題、填空題，這種測試方法對學生數學知識或數學能力的考察能有多深呢？這是值得思考的。

另一方面，在不同的環境下學習數學，學生對數學本身也會存在不同的理解，這也是我們進行素養評價時要注意的問題。比如，有傳統的紙筆運算下的數學，有IT環境中呈現的數學，有動手實驗發現的數學，有數學軟件中呈現的動態數學……在這些不同環境中，學生學的無論是數學技能還是數學概念，都會有細微不同。

因此，我們所測試的學生的數學能力是否只是某一方面（某種環境下）的能力呢？不少人提出，培養學生的核心素養，需要基于校本課程的評價、基于項目學習的評價以及基于學習過程的評價。這些評價方式固然有其正面的意義和作用，也確實指向核心素養的教育目標（林崇德，2016）。然而，可能還要考慮到教育的公平問題。

以PISA數學素養來說，重視數學在情境脈絡中的應用固然十分重要，情境問題往往與社會生活相關，也與學生周圍的生活環境息息相關，由于家庭經濟原因，不少學生可能會對一些問題情境不熟悉，對課外知識和書籍的涉獵不足。完全基于應用型的測試或評估是否會帶來新的教育不公平？因此，核心素養導向的教學，對傳統的學校評價體系是巨大挑戰，這些都值得我們關注和彳朱討。

素養導向并不意味著拋棄傳統

社會變革對人的發展提出了與以往不同的要求，這當然也直接影響學校教育的目標。

素養這一概念的提出是有其時代性。無論哪一種表達，其實都在回答未來社會需要什么樣的人才。學會學習、終身學習已成為許多國家應對未來社會變遷的教育改革目標。不可能由某一學術組織提出一個放之四海而皆準的術語去表達數學素養，也不可能建立一個廣泛的概念框架去澄清所有的概念區別。

從這個意義上講，關注數學素養本質上還是關注數學學習：學生是如何學習的？學生該學些什么？學生又是如何學會的？這些問題都與數學教育的目標息息相關。另外，隨著時代的發展，對于大眾需要掌握什么樣的數學也隨著改變。這也正是數學素養時代性的體現。當前，新的社會環 境（互聯網時代、知識經濟）在未來是否又會有新的特點，現在的數學素養在未來是否會有新的變化，數學教育目標如何應對未來社會的需要和變革，也值得我們深思。

在我們的數學教育回應這場全球教育變革時，不要忘記我們走過的路。面對當前的課程改革，我們不是要否定或摒棄過往數學教育改革的經驗和成果。事實上，與數學素養相關的數學推理、數學表征、數學建模、數學情感等不正是課改十多年來我們一直討論、研究和實踐的嗎？重視知識、技能和價值觀與情感態度，亦是新課改以來的核心目標。

面對核心素養的時代要求，整理、反思的心態或許更為重要。任何課程變革落到實處，都需要依賴專業的教師隊伍（張僑平、林智中、黃毅英，2012）。能否借助核心素養這股“東風”進一步做好教師專業發展，才是課程改革成功的關鍵。

學生核心素養的培育需要內化為教師內在的信念，成為改革的主體，而非不加分析判斷地跟風而上、盲目聽從權威人士或遵循課程文件。把握核心素養的實質，這對教師自身的專業素養也提出了要求。這既需要保持、發揮我們自身數學教育的特長，不妄自菲薄，也需要積極融人國際社會的大環境，兼容并包，這樣才能有助于形成中國特色的數學教育。