高中數學教學中運用化歸思想的案例分析

覃靜

【摘 要】本文闡明化歸思想的重要性、原則（簡化原則、轉熟原則、直觀原則）以及方法（配方法、分解法、換元法），通過相關的案例進行具體的闡述。

【關鍵詞】高中數學 教學方式 化歸思想 案例分析

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）05B-0152-03

作為數學教學的基本思想之一，化歸思想指的是當遇到復雜的數學問題時，通過采用轉化以及變化的方法，將復雜的問題簡單化，從而解決相關問題。化歸思想的本質就是將新知識通過轉化的方式轉變為已知的知識。

基于此，高中數學教師在實際的教學過程中需要加強對這一教學方法的應用，繼而以此為基礎，培養學生學會將未知轉化為己知，將復雜轉化為簡單，將新知識轉化為舊知識的能力。相關的教學實踐顯示，高中生如果掌握化歸思想，那么就能夠更快地提升其解題能力。

一、化歸思想的其中三個原則

（一）簡化原則

簡化原則，是指在進行數學問題解答的過程中，通過將復雜的問題轉化為簡答的問題，以促進解題效率的提高。關于簡化原則的案例，筆者總結如下。

以人教版高中數學必修 1 中的“函數值域”一課的教學為例。在進行函數值域的解答過程中，由于函數概念過于抽象，故而在實際的解題過程中難度較大。基于此，就要根據簡化原則，借助幾何圖形的概念進行解答。

通過對題目的分析可以得知：點（2cos x，4sin x）在軌跡方程的橢圓上，故而在進行值域求解的過程中，將其轉化為橢圓上的點與點（4，-1）連線的斜率。基于此，學生可以借助幾何圖象進行相關的解答，并最終確定值域的范圍為。

〖解〗依題知，點（2cos x，4sin x）在軌跡方程的橢圓上。

因 sin x2+cos x2=1，所以題中所求值域就是橢圓上的點和點（4，-1）連線的斜率。

設切線方程為 y+1=k（x-4），將其與橢圓聯立，得判別式為 0，即

4x2+[k（x-4）-1]2=16

（4+k2）x2-（8k2+2k）x+16k2+8k-15=0

[-（8k2+2k）]2-4（4+k2）（16k2+8k-15）=0

12k2+8k-15=0

（2k+3）（6k-5）=0

或

故取值范圍為

（二）轉熟原則

所謂的轉熟原則指的是在進行高中數學學習的過程中，將陌生的知識轉換為熟悉且已經掌握的知識，從而以此為基礎幫助解答題目。事實上，數學題目盡管類型較多，但是其解題方式以及思路都存在著相似性，故而為題型之間的轉換提供便利。總體而言，借助轉熟原則進行相關作業的過程中，確保學生在遇到陌生的題目時能夠快速地解決問題，促進學習效率的提高。

以高中函數教學為例，學生在解答“求解 x”一題的過程中，雖然三次方的方程式對于大部分學生而言存在解答的難度，基于此，為解題的便利性，需要學生加強對轉熟原則的運用，將 x 設定為己知量，將 a 設置為，從而將原式轉換為求解 a 的二次方程“x3+（1+a）x2-a2=0”，繼而實現對 x 值的求解。轉換完成的方程式可以進一步化簡為（x-a）3=0，即得 x 的值為。

（三）直觀原則

在利用直觀原則進行化歸思想教學的過程中，需要教師在實際的操作過程中加強對學生進行數形結合能力的培養，并以此為基礎，確保學生在實際的學習過程中能夠將抽象的數學問題轉變為直觀的圖形問題，繼而促進相關問題的有序解決。

以高二理科教材選修 2 中定積分的一個例題為例，計算下列定積分：

〖分析〗這個例題被積函數都是一樣的，可是積分的上限、下限不一樣，通過計算結果發現，可以利用梯形的面積來表示這幾個導數的結論。

（1）當對應的曲邊梯形位于 x 軸上方時，定積分的值取正值且等于曲邊梯形的面積；

（2）當對應的曲邊梯形位于 x 軸下方時，定積分的值取負值且等于曲邊梯形的面積的相反數；

（3）當位于 x 軸上方的曲邊梯形的面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為 0。

通過這個例題使學生了解定積分的值不一定等于曲邊梯形的面積，但要注意條件，畫正弦函數的圖象來分析就是直觀原則。

二、化歸方法以及案例分析

（一）配方法

在高中數學解題的過程中，作為常用的解題方法就是配方法。相關的實踐顯示：配方法的運用能夠進一步實現對于復雜問題的解答，繼而以此促進學生學習效率的提升。

諸如在進行題目“已知長方體的全面積為 11，其 12 條棱的長度之和為 24，求長方體對角線長度”解答的過程中，需要將幾何題目轉換為數學表達式，設長方體長寬高分別為 x，y，z，則，以此來求對角線長 。在實際的求解過程中，需要借助配方法進行具體的解答。

設長方體長寬高分別為 x，y，z，由已知“長方體的全面積為 11，其 12 條棱的長度之和為 24”得

，

由此求得對角線長度

。

（二）分解法

此外，在借助化歸思想進行高中數學學習以及解題的過程中，除了需要加強對配方法的運用之外，還需要進一步對分解法的使用。所謂的分解法指的是將題目中所出現的方程式（圖形）進行分解，將復雜的問題轉變為幾個簡單的部分，從而促進相關問題得到高效解決，促進學習效率的提高。例如，在進行函數解答的過程中，學生往往需要通過化簡復雜的多項式繼而將之轉變為合理的幾個組，然后以此為基礎進行解答。

如例題，已知函數 ，其圖象在 x=2 處的切線方程為 3x+2y-11=0。

（1）若函數 f（x）解析式；

（2）若函數 y=f（x）的圖象與的圖象有三個不同的交點，求實數 m 的取值范圍。

（三）換元法

在借助化歸思想進行高中數學教學的過程中，還需要教師加強對換元法的運用，從而以此為基礎將形式較復雜的方程、不等式、函數轉換為簡單且操作便捷的基本問題。這種方法又被稱之為“局部換元法”。其思想內涵指的是將未知的式子看作一個整體，用一個變量去替代，最終由此促進題目得到有效解答，促進教學任務的有效開展。

比如在解答“若 ，則 tanα 的值為多少？”一題的過程中，需要學生將 x 和 y 分別取代 cosα 和sinα，將上述的方式轉換為 。再依據三角函數性質 ，推算出 x2+y2=1。然后將上述的方程進行聯立從而求出二元二次方程的解，最終解答出 tanα=2。該題目的解題過程如下。

隨著新課標改革的不斷推進以及教學事業的發展，我國的高中數學課程在教學方式以及教學理念方面出現了不同程度的變革。在這樣的背景之下，為了進一步促進高中數學教學活動的有效開展，需要教學者在實際的教學過程中加強對化歸思想的運用，繼而促進教學效果的提升，推動教學任務的完成。本文基于此，探討了化歸思想及其重要性、化歸思想的原則（簡化原則、轉熟原則、直觀原則）以及化歸思想的方法（配方法、分解法、換元法），并通過相關的案例進行具體的解答，希望能以此培養學生的數學能力，促進學生進步。

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（責編 盧建龍）