關(guān)于應(yīng)用型本科院校《線性代數(shù)》課程教學(xué)內(nèi)容的思考

程松林 上海電機(jī)學(xué)院

關(guān)于應(yīng)用型本科院校《線性代數(shù)》課程教學(xué)內(nèi)容的思考

程松林 上海電機(jī)學(xué)院

《線性代數(shù)》是高等院校廣泛開設(shè)的一門以矩陣計算為主要工具來研究線性方程組求解的基礎(chǔ)理論課程，也是工科各專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)如運籌學(xué)、離散量數(shù)學(xué)、數(shù)值分析和矩陣分析等后續(xù)課程的知識儲備課程之一，更重要的是線性代數(shù)模塊是每年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)一到數(shù)三中的必考內(nèi)容，因此，《線性代數(shù)》課程的教學(xué)改革和方法創(chuàng)新一直受到各高等院校數(shù)學(xué)教研室老師的重視和關(guān)注。

線性代數(shù) 應(yīng)用型教學(xué)改革

相對于高等院校數(shù)學(xué)學(xué)院和數(shù)學(xué)系側(cè)重于矩陣?yán)碚摰耐茖?dǎo)和分析，我們應(yīng)用型本科院校更側(cè)重于矩陣計算的教學(xué)和實踐，另外由于非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)時較少，如何在有限的學(xué)時內(nèi)讓學(xué)生熟練掌握矩陣的常規(guī)計算方法和求解線性方程組等工具是我們在課程設(shè)計和課堂教學(xué)中一直思考的核心問題。結(jié)合我校“技術(shù)立校、應(yīng)用為本”的辦學(xué)方針，借鑒國內(nèi)外高校創(chuàng)新人才培養(yǎng)的模式，我們線性代數(shù)教研組對我校《線性代數(shù)》課程教學(xué)大綱和授課計劃內(nèi)容等做了如下的討論和探索。

函數(shù)是大學(xué)微積分課程的研究對象，基于函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)與微分、不定積分、定積分、微分方程、多元函數(shù)微分、重積分、曲線積分與曲面積分、差分方程和無窮級數(shù)等是其具體研究內(nèi)容。相比較而言，線性代數(shù)的主要研究對象是矩陣，基于矩陣我們主要講解矩陣的基本運算、矩陣的行列式和矩陣的初等變換三種計算方法，以期通過學(xué)習(xí)該課程后，我校工科和經(jīng)濟(jì)管理類學(xué)生能夠為后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)奠定堅實的計算基礎(chǔ)。為此，在新的教學(xué)大綱和授課計劃中和大部分其他高校線性代數(shù)課程不同的是，我們將矩陣章節(jié)提前到第一章講解，以超市四種食品銷量統(tǒng)計表和曾獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的列昂惕夫投入產(chǎn)出模型為切入點，自然引入矩陣的概念和常見的分類，并形象地表現(xiàn)了矩陣表示數(shù)表相對于其他圖表容易計算和統(tǒng)計分析的優(yōu)勢。在第一章中，我們講解矩陣的加法、數(shù)乘、矩陣相乘、轉(zhuǎn)置和逆矩陣運算以及各運算的性質(zhì)。具體授課時要強調(diào)單位矩陣和零矩陣在矩陣運算中的特殊之處，有些類似于數(shù)的運算中1和0的作用，加法運算的前提是兩個矩陣必須是同型的，矩陣相乘是建立在第一個矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)的條件下。另外矩陣的逆運算為線性方程組Ax = b求解提供了一種新的方法，初步使得學(xué)生對矩陣的定義和基本運算有了總體上的認(rèn)識和了解，為后續(xù)章節(jié)矩陣其他計算的學(xué)習(xí)和掌握做好了知識準(zhǔn)備。

在第二章節(jié)中，我們在課程設(shè)計時以二元和三元線性方程組的消元法求解引入二階、三階行列式的定義，并通過遞歸方法定義n階行列式。這樣避免了非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生因為逆序數(shù)的計算困難而無法理解行列式的實質(zhì)。在講授行列式的計算性質(zhì)時也是淡化證明，側(cè)重于舉例驗證和說明性質(zhì)的用途，尤其要強調(diào)行列式換行（列）反號、某一行（列）有公因子可以提到行列式之外和某一行（列）的倍數(shù)加到其他行（列）行列式值不變等三條性質(zhì)在行列式化上三角形過程中的熟練運用。另外，通過三階行列式的定義和等價轉(zhuǎn)化，引入行列式按行（列）降階展開的計算方法，尤其要注意降階前把某一行（列）除一個非零元素外其他元素都通過行（列）變換變成零，這樣才能更快地化成只有一個元素和它對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積，從而更準(zhǔn)確計算出所求行列式結(jié)果。對于行列式的運用主要體現(xiàn)在求逆矩陣和運用克萊默法則求解線性方程組。相對于第一章待定系數(shù)法求解比較繁瑣外，通過行列式計算元素的代數(shù)余子式構(gòu)造伴隨矩陣法來求逆矩陣的過程體現(xiàn)了簡便和實用性。同時，基于克萊默法則和行列式的計算，我們在系數(shù)矩陣行列式不為零的前提下容易求得線性方程組的解。需要注意的是，通過逆矩陣和克萊默法則求解都是建立在方程組系數(shù)矩陣行列式不為零，即是系數(shù)矩陣可逆的前提下。

當(dāng)線性方程組系數(shù)矩陣不是方陣，或是方陣但不可逆時，逆矩陣法和克萊默法則求解線性方程組是失效的，第三章和第四章所講解的矩陣的初等變換，尤其是初等行變換方法應(yīng)運而生。矩陣的初等變換方法不僅可以解決前兩種方法適用的場景，而且可以解決它們失效時的情形。講解時要重點介紹矩陣初等變換的三種操作和怎樣將一個矩陣通過行變換化成行階梯型、行最簡形，初等矩陣相對于初等行變換的作用，推導(dǎo)出用右添單位陣、常數(shù)向量并行變換的方法分別求矩陣的逆矩陣和線性方程組的求解的思路方法。在介紹矩陣的秩模塊時，利用矩陣的最高階非零子式的階數(shù)來定義秩，另外解釋基于矩陣經(jīng)初等行變換后得到的行階梯型非零行的函數(shù)來計算矩陣的秩的合理性，為運用線性方程組系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩的大小比較來判斷是否有解的判定定理引入做好了基本理論知識的鋪墊。

其實運用矩陣的初等行變換方法能夠求解所有情況下的線性方程組求解，第四章我們講授向量組的線性相關(guān)性和線性方程組解的結(jié)構(gòu)，主要是基于前面求解線性方程組的通解表達(dá)式形式上來思考如何通過求得有限個特解（非齊次方程組的特解和對應(yīng)齊次方程組的特解）來構(gòu)造通解。課堂上要強調(diào)在要保證對應(yīng)齊次方程組的特解“最具有代表性”，我們要探討其特解向量組的線性無關(guān)性和最大線性無關(guān)性，從而求得齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解表達(dá)式。最后運用非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，求得非齊次方程組的通解表達(dá)式。

由于學(xué)時受限，應(yīng)用型本科院校《線性代數(shù)》課程旨在為理工科和經(jīng)濟(jì)管理類學(xué)生傳授一種矩陣計算工具并能夠?qū)W以致用。如何通過實例和背景引入有效啟發(fā)學(xué)生理解每一種運算定義和性質(zhì)，并激發(fā)他們在數(shù)學(xué)建模過程中運用矩陣計算解決所需要解決的問題，值得我們數(shù)學(xué)教學(xué)工作者一直不斷的思考和探索。