一種用于結構可靠性分析的Kriging學習函數

孫志禮， 李 瑞， 閆玉濤， 王 健

(東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819)

一種用于結構可靠性分析的Kriging學習函數

孫志禮， 李 瑞， 閆玉濤， 王 健

(東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819)

為提高基于Kriging模型的結構可靠性分析方法的效率，分析現有學習函數的不足，提出一種新的自適應學習函數VF. 該學習函數同時考慮學習點的Kriging方差和聯合概率密度函數值對失效概率估計精度的影響，避免對概率密度函數值過小的區域抽樣造成的樣本點浪費，提高了學習效率. 根據Monte Carlo方法生成大量候選樣本點，定義學習函數最大值點為最佳樣本點；提出一種適合該學習函數的學習停止條件，既保證失效概率的精度又保證學習選點次數較少；分析兩個數值算例. 結果表明：與其他方法相比，所提出方法能夠在較少樣本數量的情況估計出較準確的失效概率值，其在迭代收斂速度、準確性及穩定性方面都具有較好的效果，且該方法能夠應用于工程中隱式且非線性程度較高情況.

結構可靠性；Kriging模型；失效概率；主動學習；蒙特卡羅方法

一次二階矩法、二次可靠性方法、Monte Carlo方法[1]等廣泛應用于可靠性分析中. 但是,一次二階矩方法、二次可靠性方法等只適用于顯式功能函數，而對于工程問題，大多數情況下功能函數是隱式函數，這時可以應用數值模擬的方法進行分析. 基于數值模擬的可靠性分析方法如Monte Carlo方法是求解失效概率直觀、精確的一種方法，但是它需要大量的隨機樣本，無法在短時間內進行可靠性評估. 代理模型的方法在一定程度上解決了這類隱式可靠性分析問題，如響應面法[2-6]、人工神經網絡方法[6-7]、支持向量機、Kriging方法等[8-12]. Kriging模型作為一種新的代理模型，最初應用于地質統計學中，現在，它被應用在可靠性評估中. Kriging方法最大的特點是不需要建立一個特定的數學模型，即是一種包含了多項式和變差函數的模型，避免了只有多項式模型對結構可靠度計算精度的影響. 近十幾年，Kriging方法在工程領域得到了廣泛應用[13].

基于Kriging模型的學習函數中，應用最廣泛的是Bichon等[14]提出的EFF(Expected Feasibility Function)函數及Echard等[15-16]提出的U函數.EFF函數能夠用來度量點x落在真實極限狀態函數G(x)=0附近的期望，而U函數是點x系統響應被錯誤分類可能性的度量.EFF和U在輸入變量X維數不高情況下效率很高，隨著維數的增加效率會逐漸降低，因此，不適合用于多維情況的可靠性分析中.

本文基于Kriging模型，根據現有模型的不足，考慮聯合概率密度函數對失效概率預測準確性的影響，提出了一種新的學習函數及相應的學習停止條件，將學習函數和學習停止方法與Monte Carlo方法相結合,提出一種新學習方法，并通過兩個例子對幾種學習方法進行比較.

1 Kriging 模型

Kriging模型是一種高效的插值方法，包含確定性和隨機兩個部分，確定性部分一般采用最小二乘多項式擬合，隨機部分為高斯過程. 以最小方差無偏估計保證差值精度，通過最大似然法或交叉驗證法確定高斯過程相關性參數.

Kriging模型假設功能函數G(x)可表示為

(1)

式中:g(x)=[g1(x),…,gp(x)]T是定義在輸入變量X空間內的基函數，β=[β1,…,βp]T為與g(x)對應的回歸系數. 本文中暫定g(x)為一次多項式. 式(1)中z(x)為零均值同方差高斯過程，z(xi)、z(xj)的協方差為

(2)

].

(3)

若已知樣本集

Ω={(xi,yi),i=1,2,…,N},

式(1)～(3)中未知參數β、σ2、θ可通過極大似然法估計得到，

式中：

β=(GTR-1G)-1GTR-1Y,

G=[g(x1),g(x2),…，g(xN)]T,

R=(R(xi,xj;θ))N×N.

(4)

結合式(1)、(4)的估計誤差為

(5)

式中:

u(x)=GTR-1r(x)-g(x).

2 Monte Carlo方法

X的聯合概率密度函數為f(x)，不失一般性，本文中假設X服從M維正態分布. 功能函數G(x)將X空間分為兩部分，即安全域Ss={x|G(x)>0,x∈RM}和失效域Sf={x|G(x)≤0,x∈RM}. 則失效概率為

).

式中:If(·) 是失效域指示函數，通常表示為

(6)

3 學習方法

3.1 學習函數

目前，確定樣本集Ω的方法可分為兩類：

1)隨機抽樣法. 該方法主要是首先給定Ω中樣本量N0，采用Monte Carlo、拉丁超立方等隨機抽樣方法確定Ω. 此類方法簡單易懂，操作方便，但效率低，容易造成樣本點浪費. 特別是輸入變量數維數較大時無法保證Ω中各點均勻分布在變量空間內.

Echard B提出如下U函數：

U(x)=|μG(x)|/σG(x).

VF=σG·fG(x).

其中fG(x)是概率密度函數.

3.2 學習停止條件

根據文獻[12,15]，用PR=Φ(U)表示點x符號預測正確的概率，則PW=Φ(-U)表示該點符號預測錯誤的概率. AK-MCS/AK-IS的學習停止條件是Umin>UT，其中，Φ(UT)=0.997，UT=2.

如果符號的錯誤點與失效點相比非常少，就可以確定失效概率的計算是準確的.

Nu/Nf≤α.

(7)

本文中，P=1，Q=2，α=0.03.

3.3 本文提出的學習方法

提出的選取樣本點方法的主要步驟為：

步驟1 應用拉丁超立方抽樣方法隨機產生初始樣本點XDoE=[x1,x2,…,xN].

步驟2 用真實的G(x)計算YDoE.

步驟3 用XDoE和YDoE建立Kriging預測模型，這里用到的工具是MATLAB中的DACE工具箱.

步驟5 在變異系數滿足條件時計算Nu/Nf.

步驟6 如果Nu/Nf的值滿足學習停止條件見式(7)，結束學習過程，否則轉到下一步.

4 算例分析

4.1 二維模型

這是一個2維隨機變量小失效概率的例子,選自文獻[17]，功能函數如下：

G(x1,x2)=x1x2-1 500.

其中:x1、x2服從正態分布，且相互獨立.μx1=38，σx1=3.8，μx2=54，σx2=2.7. 算例結果見表1.

表1 二維模型算例結果

根據本文算法流程編制MATLAB程序，首先用拉丁超立方的方法選擇4個初始樣本點，建立Kriging模型，通過主動學習，更新初始的樣本空間，重新建立了新的Kriging模型. 本算例在調用學習函數4次時，到達學習停止條件. 由于本算法使用較少的樣本空間，因此有較好的效率，在進行4次運算時，樣本空間數量少且穩定，得到的失效概率也非常一致，從而證明了本文提出的算法有較高的穩定性. 圖1描述了不同的調用次數時Kriging擬合的功能函數與真實的功能函數的匹配情況，如圖1(c)所示在調用學習函數4次時，兩條曲線基本重合. 圖2(a)描述了在調用學習函數過程中失效概率的變化. 圖2(b)描述了在調用學習函數過程中學習停止條件值的變化. 從圖2中可以看出,學習停止條件到達時，失效概率剛好收斂，可見本文提出的學習停止條件是實用的.

圖1 預測極限狀態的收斂情況

(a)失效概率的變化

(b)學習停止條件值的變化

4.2 六維模型

6維隨機變量非線性系統例子見文獻[2-3,7-8,15]，系統如圖3所示，功能函數如下：

圖3 非線性系統

變量分布均值標準差C1正常1．00．1C2正常0．100．01M正常1．000．05R正常0．500．05T1正常1．00．2F1正常0．4500．075

首先,用拉丁超立方的方法選擇15個初始樣本點，建立Kriging模型，通過主動學習，更新初始的樣本空間，重新建立了新的Kriging模型. 本算例進行4次計算，結果列于表3和圖4. 與其他方法相比，本文提出的方法需要更少的迭代步驟，且具有較高的穩定性.

然后,分別用用拉丁超立方的方法選擇10和20個初始樣本點，計算結果列于表3和圖5. 圖5描述了在不同數量的初始樣本空間時，函數的收斂情況. 由圖5可見,初始樣本空間的數量對收斂數度有一定的影響，但是影響不大，且都在樣本數為50左右收斂.

表3 六維模型算例結果

(a)失效概率的變化

(b)學習停止條件值的變化

(a)初始DoE為10時失效概率的變化

(b)初始DoE為10時學習停止條件值的變化

(c)初始DoE為15時失效概率的變化

(d)初始DoE為15時學習停止條件值的變化

(e)初始DoE為20時失效概率的變化

(f)初始DoE為20時學習停止條件值的變化

5 結 論

1)本文利用Kriging隨機特性，結合現有學習函數的不足，提出了一種新的學習函數VF，該方法將方差與聯合概率密度函數相結合，提高選點的效率和穩定性.

2)提出一種學習停止條件，既能保證失效概率計算的準確性，又不至于過于嚴格而造成不必要的迭代. 并結合學習函數VF提出一種學習選點方法.

3)數值算例計算結果表明，本文提出的學習方法具有較高的效率，穩定性和精度.

4)本文方法在建模迭代過程中沒有對結構功能函數線性、非線性形式，及隱式、顯式情況做特定假設，因此，理論上該方法能夠應用于工程中隱式且非線性程度較高情況.

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(編輯 楊 波)

A Kriging based learning function for structural reliability analysis

SUN Zhili, LI Rui, YAN Yutao, WANG Jian

(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

To improve the efficiency of Kriging based structural reliability analysis, a new adaptive learning functionVFis proposed after analyzing the weakness of existing learning functions. The learning function VF combines variance and joint probability density function both of which can affect the accuracy of estimated failure probability. This method can avoid wasting samples caused by sampling in the area where the value of joint probability density function is low, and increase learning efficiency. Firstly, a large number of candidate sample points are generated by Monte Carlo method, and the point that maximizes the proposed learning function value is defined as the best one. Secondly, a suitable stopping condition is proposed, which can not only ensure the accuracy of failure probability but also reduce iterations dramatically. Finally, two numerical examples are analyzed to show that the proposed method requires fewer calls to the performance function than other methods and it has high convergence speed, good accuracy and stability. And the method can be used in engineering problems with implicit and high nonlinear performance function.

structural reliability; Kriging model; failure probability; active learning; Monte Carlo method

10.11918/j.issn.0367-6234.201604121

2016-04-25

國家科技重大項目(2013ZX04011-011)

孫志禮(1957—)，男，教授，博士生導師

孫志禮，zhlsun@mail.neu.edu.cn

TB114.3

A

0367-6234(2017)07-0146-06