T型管液壓成形加載路徑自適應多目標優化

宋學偉， 李東營， 黃天侖

(吉林大學 汽車仿真與控制國家重點實驗室， 長春 130022)

T型管液壓成形加載路徑自適應多目標優化

宋學偉， 李東營， 黃天侖

(吉林大學 汽車仿真與控制國家重點實驗室， 長春 130022)

為解決靜態代理模型非線性結構優化效率、精度低的問題，采用最小二乘支持向量回歸機(LSSVR)模型進行T型管液壓成形加載路徑自適應多目標優化研究. 用一個數值算例說明本文方法的有效性，以管與背壓沖頭的接觸面積最大及管的最大減薄率最小為優化目標，以接觸面積大于對標仿真值、最大減薄率小于實驗值、高度大于實驗值為約束條件進行多目標優化設計. 采用拉丁超立方體設計構造初始支持向量回歸模型，用自適應法將每次迭代中獲得的額外取樣點添加到重建的支持向量回歸機模型，得到帕累托最優解集. 用理想點法，選擇一個最優妥協解以供工程師選用. 在成形高度沒有變差的情況下，自適應多目標優化結果的管與被壓沖頭接觸面積比實驗值提高了32.42%，最小厚度比實驗值增加了14.97%. 表明自適應迭代LSSVR模型能夠在少量樣本下保證優化設計精度和計算效率.

T型管液壓脹形；加載路徑；多目標優化；自適應迭代LSSVR模型；最優妥協解

管液壓成形(tube hydroforming, THF)又叫內高壓成形，是一種利用高壓液體做成形介質，同時配合軸向進給使管材塑性變形成形出與模具形狀相適應零件的工藝方法. THF具有強度高、零件數量少、成形精度高等一系列優點[1-2]. 然而，THF與傳統沖壓焊接工藝不一致，相應的成形工藝理論較缺乏. 上世紀70年代后期，THF成形技術開始用于汽車零部件成形，此后，逐步被用于汽車及其它工業領域.

THF成形質量受管材材料參數、零件幾何形狀以及加載路徑的影響，其中加載路徑的影響最大，不恰當的工藝參數將導致零件液壓成形中起皺、屈曲及破裂等缺陷. THF加載路徑的優化算法主要包括基于梯度算法、進化算法等的傳統方法及基于代理模型的近似優化算法. 由于采用代理模型能夠克服傳統優化方法容易陷入局部最優以及迭代次數過大的缺陷，近年來被學者們廣泛采用. 所用的代理模型[3]主要有響應面法(response surface method, RSM)模型、徑向基函數(radial basis function, RBF)模型、克里金(Kriging, KG)模型、人工神經網絡(artificial neural network, ANN)模型及最小二乘支持向量回歸機(least square support vector regression, LSSVR)模型.

Brooghani等[4]基于多級RSM進行管液壓成形優化研究，將厚度方差作為優化目標，突起高度作為約束，研究結果表明厚度變化值大大改善. Abdessalem等[5]基于RSM和LSSVR進行THF多目標優化和全局靈敏度分析研究，結果表明LSSVR對于RSM在處理實際的非線性工業問題有更好的優勢. Huang等[6]提出一種基于KG的非概率區間優化設計方法用于THF加載路徑的優化設計，結果表明區間優化的結果更為穩健可靠. Ingarao等[7]比較了古典多項式回歸方法(classical polynomial regression approach,PR)，移動最小二乘近似法(moving least squares approximation , MLS)和KG方法應于THF的成形效率,結果表明，MLS和KG可大幅度減少液壓成形優化中計算工作量. Zhang等[8]提出了一種混合的方法來優化THF加載路徑,基于ANN構建代理模型,并在專用液壓成形機上進行了實驗驗證.

盡管基于代理模型的優化可大大減少采用梯度算法或者進化算法的優化計算求解時間，但目前絕大多數的基于代理模型的THF加載路徑優化都基于靜態模型. 采用靜態代理模型進行THF這樣的高度非線性問題的加載路徑最優化問題求解時，要構造整個設計域的高精度代理模型需要大量的計算樣本，這勢必引起計算效率降低. 為了避免靜態代理模型進行全局優化計算效率低的問題，學者們引入自適應優化算法，進行THF加載路徑的優化設計[9-10]，通過逐步縮小設計空間或者向樣本庫中逐步添加樣本點的方法，提高關鍵區域的局部計算精度，進而提高所求問題的全局計算精度. 該方法能在保證求解精度的前提下，提高多目標優化問題的計算效率. 此外，在實際工程中，很多問題都是多目標的，因此，開展多目標代理模型優化研究與實際工程問題更一致.

本文基于LSSVR模型，進行T型THF自適應多目標優化研究. 首先通過算例說明本文方法的有效性，而后將該方法用于T型THF加載路徑的多目標優化設計，并將優化結果與文獻[11]中的實驗結果進行了對比.

1 自適應迭代LSSVR模型的多目標優化

1.1 多目標優化問題

一般的多目標優化問題可以表述為

min {f1(x),f2(x),…,fk(x)},

s.t.gi(x)≤0(i=1,2,…,l),

xl≤x≤xu.

(1)

式中：f為目標函數，k為目標函數數目，gi為第i個約束函數，l約束函數數目，xl與xu分別為設計變量的下限和上限.

1.2 LSSVR模型

LSSVR是一種修正的SVR模型[5]，其基本表達式如下:

b.

(2)

式中：φ為輸入的映射函數，w與b為未知系數. 通過最小二乘法與lagrangian乘數法求解，則式(2)可以表示為式(3):

(3)

其中y=[y1,y2,…,yn]T，α=[α1,α2,…α3]T,I為單位矩陣，γ為正則化系數，

Ωkl=φ(xk)Tφ(xl)=K(xk,xl)，

K為核函數，在本文中使用RBF核函數模型

1.3 自適應迭代LSSVR多目標優化策略

自適應迭代LSSVR多目標優化策略流程如圖1所示.

圖1 自適應迭代LSSVR多目標優化流程

Fig.1 The flowchart for multi-objective optimization using adaptive iteration LSSVR

自適應迭代LSSVR多目標優化步驟：

步驟1 設置多目標優化問題，定義自變量、目標函數和約束函數，設容差ε=2%,迭代步k=1；

步驟2 用拉丁超立方體設計(LatinHypercubeDesign,LHD)獲得初始采樣點，調用實際模型評估的目標和約束函數值. 在樣本點庫中保留采樣點和相應的函數值；

步驟3 使用樣本點庫中的采樣點根據式(1)與式(2)構建LSSVR，并應用LSSVR進行多目標優化設計. 獲得近似Pareto解集和Pareto前沿[12]；

步驟4 從近似Pareto解集中選取若干Pareto解，并計算其函數值[13]；

步驟5 當設定容差滿足

(4)

1.4 數值算例

為了驗證本文自適應迭代模型多目標優化的有效性,選取數值算例測試函數[14]對其進行測試，函數表達式如下:

(5)

利用遺傳算法NSGA-II[15]求解測試函數的Pareto前沿，作為測試函數的“真實解”，所選的種群數目為100，最大迭代次數200，交叉概率和變異率分別為0.8和0.2，Pareto入口比例0.4.

用LHD獲得15個初始采樣點，構建調用實際模型評估的目標和約束函數值. 在樣本點庫中保留采樣點和相應的函數值；

利用LHD獲得15個初始采樣點構建自適應LSSVR模型，利用遺傳算法NSGA-II獲得代理模型的Pareto解集及前沿作為函數值的近似Pareto解及前沿，從近似解中選取3個Pareto解計算測試函數(5)的值，經過4個迭代步獲得最終的近似Pareto最優解.

圖2為初始LSSVR模型與采用遺傳算法求解的數值算例真實Pareto前沿的對比，由對比可以看出，兩者存在較大的誤差. 圖3為經過4個迭代步，27個樣本點的自適應迭代LSSVR模型的Pareto前沿與采用遺傳算法直接求解的數值算例真實Pareto前沿的對比. 由對比可以看出，兩者吻合得很好. 對比圖2和圖3的結果可知，采用自適應LSSVR模型所獲得的測試函數的Pareto前沿與采用遺傳算法直接求解得到的真實Pareto前沿有較好的一致性，說明了本文方法的有效性.

圖2 初始LSSVR模型與函數真實Pareto前沿

圖3 自適應迭代LSSVR模型與真實函數的Pareto前沿

Fig.3 The Pareto front obtained from adaptive iteration LSSVR and actual Pareto front

假定數值算例為大型非線性工程問題，完成單次求解都要花費較長的時間. 如果直接利用NSGA-II算法進行最優化問題求解，種群數目和最大迭代次數分別100與200時，要進行100×200=20 000次耗時的工程計算，優化問題因過長的計算時間而失去意義. 而采用自適應迭代LSSVR模型時，優化問題求解只需要進行27次求解就可以得到最優解，相對于直接使用NSGA-II算法，其函數調用次數減少了99.99%，計算效率大大提高.

靜態LSSVR模型的Pareto前沿與真實函數的Pareto前沿對比如圖4所示. 由圖4可知，靜態LSSVR模型沒能很好地捕捉到真實函數的Pareto前沿. 圖5給出了自適應LSSVR模型與靜態LSSVR模型的對比，圖中紅圈內給出了測試函數的真實Pareto解集的區域，對比圖5(a)與圖5(b)可知，自適應LSSVR模型在紅圈內的具有更密集樣本點，能夠更好地捕捉到函數的真實Pareto前沿.

圖4 靜態LSSVR模型與真實函數的Pareto前沿

Fig.4 The Pareto front obtained from one time LSSVR and actual Pareto front

(a)自適應模型 (b)靜態模型

Fig.5 The distribution of sampling points of adaptive iteration LSSVR and one-time LSSVR

2 T型THF加載路徑自適應LSSVR模型多目標優化設計

2.1 有限元模型的驗證

根據對稱性，建立1/4 T型THF有限元模型，在對稱面上施加限制其在對陣面內相對移動及轉動的對稱約束，使1/4模型具有與使用完整模型一致的力學特性，所建模型如圖6所示.

圖6 T型THF有限元模型

Fig.6 A quarter of the finite element model used for numerical simulation

該模型包含4個部件，分別為模具、管材、端部沖頭及中部背壓沖頭. 管材單元類型為4800BT單元，模具、端部沖頭及中間背壓沖頭為剛性單元，模型共包含5 328個節點，5 124個四邊形單元. 模型幾何尺寸如表1所示. 管材與模具、端部沖頭以及中部背壓沖頭之間采用單向成形面-面接觸算法，摩擦因數設為0.05.

表1 管材以及模具的主要參數

Tab.1 The geometrical size of the tube and abrasive (mm)

管材材料為1Cr18Ni9Ti，有效應力與有效應變之間的Swift冪指數模型[11]為

K1=(σ11+hσ22)/2,

式中:σ11、σ22與σy分別為材料主平面內的主應力、切應力及初始屈服極限，a、c、h與p分別為各項異性系數R0、R45與R90所確定的參數，m的值取6. 管材材料參數如表2所示.

表2 1Cr18Ni9Ti管材材料參數

為了與試驗結果對比，T型THF仿真分析的初始加載路徑與文獻[11]中的實驗所描述的加載路徑一致，加載曲線如圖7所示，內壓最大值為55.00 MPa，最大軸向進給量為55.00 mm. 進行有限元仿真分析，有限元仿真的厚度分布與實驗結果[11]在Oxz與Oyz平面的厚度分布情況如圖8所示. 由圖8可知，雖然Oxz平面內管材端部厚度的有限元仿真結果與實驗結果差異相對較大，但所有點的誤差均在±10%以內，該有限元模型可以用于后續的加載路徑的優化設計. 以T型管與中央背壓沖頭接觸面積最大及零件最大減薄率最小為優化目標，以T型管的成形高度大于實驗值(55.00mm)為約束條件進行T型THF的優化分析.

圖7 T型THF仿真與試驗加載曲線Fig.7 The loading path used for the FE simulation and experiment

圖8 實驗與仿真的厚度分布

Fig.8 Thickness distribution along curvilinear distance, from the tube center to tube end along x-zandy-zplanes

2.2 設計變量的篩選

采用Taguchi方法[16]對屈服壓力py、成形過程中的膨脹壓力pe、整形壓力pc、起皺開始時刻t1、突起與背壓沖頭接觸時刻t2、軸向進給開始減少時的值D1、軸向進給停止時的值D2、軸向進給開始減少時刻t3、背壓沖頭初始位置S1、背壓沖頭最終位置S2、突起與背壓沖頭接觸時刻t4、背壓沖頭停止運動時刻t5這12個設計參數進行篩選. 采用L27(313)正交實驗表[17]進行12個因素試驗優化設計，每個因素設置為3水平，如表3所示.

表3 設計變量各參數的變化范圍

為了進一步篩選設計變量，先計算參數信噪比. Taguchi方法中使用信噪比來衡量質量偏離期望值的程度. T型THF中，管材與中央背壓沖頭接觸面積、支管高度及最大減薄率指標可以用越大越好與越小越好指標S/N計算，如式(6)與式(7)所示:

(6)

(7)

式中：yi為成形指標，n為單一水平下重復實驗次數. 信噪比均值可表示為

式中: i表示第i次實驗，k為總實驗次數. 整體的離差表示為

第i個因素的離差平方和SSi為

Pi=SSi/(SS)×100%.

(8)

根據公式(8)計算出各參數對成形質量百分貢獻比的大小,作為篩選參數的依據，如表4所示. 根據百分貢獻比選出貢獻最大的參數，12個設計參數縮減為5個設計參數x=(Pe,t2,t3,S2,D1)T.其他非顯著性參數的取值如表5所示.

表4 各設計變量對成形質量的百分貢獻比

注：f、g1與g2表示接觸面積、最大減薄率以及高度的結果.

表5 非顯著性參數的取值

2.3 自適應LSSVR加載路徑的多目標優化設計

T型管的多目標優化問題的構造如下：

min {-f(x),g1(x)},

s.tf(x)≥4 014.997,

g1(x)≤35%,g2(x)≥55,

xl≤x≤xu.式中：f、g1與g2分別為接觸面積、最大減薄率與成形高度.xl與xu的取值見表3. 依照圖1的優化流程圖，設定容差ε=0.02；采用LHD獲得20個初始采樣點，調用有限元模型計算樣本點的目標函數和約束函數值，并在樣本點庫中保留采樣點和相應的函數值；使用樣本點庫中的采樣點構建LSSVR模型，并應用LSSVR模型進行多目標優化設計. 經過4個迭代步共32次有限元分析，迭代過程達到收斂，所得的初始Pareto前沿與最終Pareto前沿如圖9所示.

圖9 最終與初始Pareto前沿

由圖9可知，基于自適應LSSVR模型的初始Pareto前沿迭代終了的Pareto前沿在接觸面大于5 500.00 mm2時與初始Pareto前沿差異較大,說明了初始的Pareto前沿可能沒有真正地捕獲到實際的Pareto前沿. 為了從多目標優化的多個最優點中選取合適的參考點，本文采用理想點法[12]對參考點進行篩選，數學表達式如式(9)所示：

(9)式中：fi與fibest分別為第i個目標函數值及第i個目標函數的最優值.

利用理想點法選取獲得最優妥協解時的參數值如表6所示，此時接觸面積、最大減薄率與成形高度的相對誤差如表7所示，其厚度分布云圖如圖10所示. 由表7可知，自適應LSSVR模型預測結果與有限元分析結果的相對誤差較小，只有最大減薄率相對誤差稍大(2.58%)，表明自適應LSSVR模型預測結果基本接近了實際的Pareto前沿.

自適應LSSVR模型的最優妥協解與文獻[11]實驗結果的比較如表8所示，在保持成形高度不變差的前提下，接觸面積提高32.42%，最小厚度增加14.29%.

表6 最優妥協解的參數值

表7 最優妥協解的計算結果

圖10 最優妥協解的厚度分布云圖Fig.10 The thickness distribution of the most satisfactory solution

Tab.8 Results of the most satisfactory solution and experimental result

結果接觸面積/mm2最小厚度/mm成形高度/mm最優結果5316．701．1255．71實驗結果4015．000．9855．00

3 結 論

1)采用自適應迭代LSSVR模型，通過逐步向樣本空間增加樣本點的方式提升關鍵區域的近似精度，顯著提高多目標優化問題的全局求解精度.

2)針對于數值算例的測試函數，采用自適應迭代LSSVR模型與直接使用NSGA-II算法相比，函數調用次數減少了99.99%，計算效率顯著提高.

3)將自適應迭代LSSVR模型應用于T型THF加載路徑的多目標優化設計，通過理想點法選擇的最優妥協解與文獻[11]實驗值相比，在保持成形高度不變差的前提下，接觸面積提高32.42%，最小厚度增加14.29%.

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(編輯 楊 波)

Multi-objective optimization for T-shaped tube hydroforming process design

SONG Xuewei, LI Dongying, HUANG Tianlun

(State Key Laboratory of Automotive Simulation and Control, Jilin University, Changchun 130022,China)

To improve the accuracy and efficiency of the using of static surrogate model for nonlinear structure optimization, the adaptive iteration least square support vector regression(LSSVR)is introduced to research the optimal solution of load path in the T-shape tube hydroforming process. The maximum contact area of the tube and counter punch and the minimum thinning ratio of the thickness are take as the optimization objective, and those the contact area is greater than the simulation value, the maximum thinning ratio of the thickness is smaller than the experimental value and the protrusion height is greater than test values, are select as constraint conditions. The Latin hypercube design is employed to construct the initial support vector regression model, and some extra sampling points are added to reconstruct the support vector regression model to obtain the Pareto optimal solution set during each iteration. Finally the ideal point is used to obtain a compromise solution from the Pareto optimal solution set for the engineers. The contact area of the most satisfactory solution increases 32.42% and the minimum thickness increases 14.97% compared with the experimental results when the protrusion height is not changing worse. The results show that the adaptive iteration LSSVR model can ensure the accuracy and efficiency of the optimization design in a small amount of samples.

T-shape tube hydroforming; loading path; multi-objective optimization; adaptive iteration LSSVR model; optimal compromise solution

2016-06-02

國家自然科學基金(51175218)

宋學偉(1972—)，男，教授，博士生導師

黃天侖， huang_tianlun@126.com

TG376.2

A

0367-6234(2017)07-0139-07