考慮相關性的數控車床多因素可靠性分配法

王 昊， 張義民， 楊 周， 劉盼學

(東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819)

考慮相關性的數控車床多因素可靠性分配法

王 昊， 張義民， 楊 周， 劉盼學

(東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819)

以數控車床為研究對象，針對基于子系統間失效獨立假設分配模型的不足，提出一種考慮子系統故障相關性的多因素可靠性分配方法. 應用 Copula理論進行故障相關性分析，建立整機可靠度函數. 根據數控車床故障模式、影響及危害性分析(FMECA)，對傳統危害度計算公式進行修正. 考慮多種分配因素建立分配矩陣，得到分配向量. 將分配向量與整機可靠度函數模型將結合，得到各子系統失效率分配值. 將分配方法應用到具體實例中，并將考慮不同子系統故障相關性情況的結果進行分析對比. 結果表明，提出的可靠性分配方法相對于基于獨立假設的分配法能夠分配給各子系統更高的失效率，在降低數控車床子系統設計制造成本上具有重要意義.

數控車床；FMECA；故障相關性；Copula；修正的危害度；可靠性分配

數控車床在機械裝備中占據重要地位，其可靠性設計在很大程度上決定了加工制造的成本以及運行過程中的平均無故障工作時間(MTBF)[1-3]. 可靠性分配是可靠性設計的初始階段任務，能否合理有效地將可靠性指標分配給各子系統至關重要[4-5]. 數控車床在傳統意義上被視為串聯系統，且各子系統的運行狀態相互獨立. 然而，大量研究數據表明，故障獨立假設不能夠十分準確地描述數控車床的實際運行狀態[6-7]，建立的可靠性分配模型及得到的分配結果都具有一定偏差. 因此，需要提出一種充分考慮故障相關性的可靠性分配方法. 近年來，國內外學者對于可靠性分配的研究不斷取得進展. Wang等[8]提出了考慮7種不同因素的分配方法. Yadav等[9]在Itabishi等[10]將危害度引入可靠性分配的基礎上，考慮子系統可靠性提升潛能，修正了危害度的計算公式，并提出了一種三維分析法. 張義民等[11]利用模糊數學理論，提出了一種基于數控車床故障信息的可靠性分配法. Kim等[12]提出了嚴重度非線性指數化的分析方法. Mou等[13]和張英芝等[14]分別建立了基于Copula函數的機械系統可靠度模型，但具體形式存在差別. Chen等[15]和唐家銀等[16]應用Copula函數，分別以子系統失效率和不可靠度比值為基礎，提出了可靠性分配方法. 現有分配方法對于客觀故障信息的利用不夠完善，且對于子系統之間的關聯性考慮不夠充分，對于Copula函數應用形式也不盡相同，導致可靠度模型的不統一.

本文結合數控車床故障模式、影響及危害分析(FMECA)，確定子系統嚴重度等級，結合三階轉換函數及觀測失效率計算各子系統修正的危害度取值，并將其作為可靠性分配因素之一. 分析了故障次數比重比、故障停時比重比、可靠性影響度和子系統復雜度4種分配因素. 將Copula理論運用到可靠性分配中，提出一種考慮故障相關性的多因素綜合分配法. 通過實例及對比分析說明了分配方法的優越性.

1 Copula理論

1.1 Copula函數及Sklar定理

設p維隨機變量X1, X2, …, Xp的邊緣分布函數分別為F1(X1), F2(X2), …, Fp(Xp)，且均服從[0,1]均勻分布. 稱C(F1(X1), F2(X2), …, Fp(Xp))為描述p維變量的Copula函數[17]. p維Copula函數具有如下性質和特點[17-18]：

1) C(F1(X1), F2(X2), …, Fp(Xp))的定義域為[0,1]p=Ip；

2)對于任意的F1(X1),F2(X2),…,Fp(Xp)∈Ip，C(F1(X1),F2(X2),…,Fp(Xp))對于每個Fi(Xi)都是增函數；

3)對于任意的F1(X1),F2(X2), …,Fp(Xp) ∈Ip，若存在Fα(Xα)=0，則C(F1(X1),F2(X2),…,Fp(Xp))=0；

(4)對于任意的F1(X1),F2(X2), …,Fp(Xp) ∈Ip，若除了Fα(Xα)外,其余均為1，則C(F1(X1),F2(X2), …,Fp(Xp))=Fα(Xα).

Sklar定理[19]指出，設p維隨機變量的聯合分布函數為F(X1, X2,…, Xp)，則存在一個Copula函數，使得F(X1,X2,…,Xp)=C(F1(X1),F2(X2),…,Fp(Xp)).

(1)

式中∶ 若F1(X1), F2(X2),…, Fp(Xp)連續，則C(F1(X1), F2(X2), …, Fp(Xp))唯一. 記uα= Fα(Xα)，其中α=1,2,…,p，則式(1)可以改寫為

式中Fα-1(Xα)為Fα(Xα)的逆函數.

根據Sklar定理，F(X1, X2, …, Xp)的密度函數為

式中，c(.)為Copula函數的密度函數，fα(Xα)為Fα(Xα)的密度函數.

1.2 Gumbel Copula函數

Archimedean Copula函數是Copula函數中最為常用的一種，其表達式為CA(u1,u2,…,up)=φ-1(φ(u1)+φ(u2)+…+φ(up)).

式中∶0≤uα≤1，φ是一個非增且連續的函數，稱為Copula生成元. 當φ(uα)=(-lnuα)1/θ時，得到的Copula即為GumbelCopula，其表達式為

C(F1(X1),F2(X2),…,Fp(Xp))=

exp(-{[-ln (F1(X1))]1/θ+[-ln(F2(X2))]1/θ+…+ [-ln(Fp(Xp))]1/θ}θ).

式中∶θ為描述變量之間相關性的相關參數，其取值為(0,1]. θ越接近于0，變量之間相關程度越強，當θ=1時，變量完全獨立. θ的估計值可以通過極大似然估計法得到.

對于數控車床，因其結構相對復雜，整機的某個功能需要多個子系統的共同配合才能完成. 某個子系統發生故障不僅與其自身材料、使用情況等因素有關，還會受到其他子系統故障的影響，這就是所謂的故障相關性[14]. 對于任何兩個或多個子系統，若其在結構上或功能上有重疊部分或一致性，則認為具有故障相關性.GumbelCopula函數能夠較好地描述機械系統的相關性問題[15-16]，因此本文選取其作為連接函數.

2 FMECA與危害度的修正

FMECA[20-21]是數控車床故障分析常用的方法，包括故障模式影響分析(FMEA)和危害性分析(CA). FMEA能夠針對整機和子系統進行拆分，得到整機可靠性框圖，并分析每個最底層零部件可能出現的故障模式及其對上一層次的影響. CA是FMECA中定量化的分析方法，其是在FMEA基礎上進行的.

記第i(i=1,2,…,N)個子系統在第j(j=1,2,…,M)種故障模式下的嚴重度和發生度分別為Sij和Oij，其均分為10個等級，1級程度最輕，之后依次遞增. 傳統意義上，將Sij和Oij的乘積作為第i個子系統在第j種故障模式下的危害度Cij取值，則第i個子系統的危害度為

根據文獻[12]，傳統的嚴重度分級顯然存在不足之處，而等級之間對應乘積對于可靠性分析意義不大，即不能簡單地認為6級嚴重度對應造成的危害程度是3級嚴重度的2倍. 因此，Kim等[12]提出了一種將嚴重度取值進行指數化的轉換，其表達式為

楊周等[22]進一步分析了指數轉換對于嚴重度取值于中低區間(1～7級)的不適用性，提出一種嚴重度三階轉換函數. 定義FMEA嚴重度水平為E，則轉換函數的表達式為

(2)

(3)

(4)

(5)

式(5)中，Ti稱為降低失效率所需成本，其計算方法為

(6)

式(6)中，λi為第i個子系統的觀測失效率；K為成本梯度，本文取K=100.

3 可靠性分配影響因素

文獻[8]綜合考慮了失效頻率、危害度、維修性、子系統復雜度、制造工藝、工作環境和成本7個因素進行可靠性分配. 本文首先將第2節論述的子系統修正的危害度作為分配因素之一. 然后，基于數控機床定期監測反饋數據，忽略制造工藝和工作環境等不能從故障數據獲得的因素及需要采取專家評分的主觀因素，結合文獻[11]，考慮故障次數、故障平均停時、可靠性影響度和子系統復雜度作為接下來可靠性分配的部分影響因素. 本節主要說明除修正的危害度以外的其他4個基于故障數據及結構分析的分配因素.

3.1 故障次數比重比

故障次數比重比ci為子系統故障次數占整機故障總次數的比例. 根據收集整理到的有效故障信息，可以統計出各子系統故障次數，進而計算得到相應的故障次數比重比數值.

若第i個子系統的ci值較大，說明該子系統出現故障的次數較多，在可靠性分配過程中應分配較高的故障率.

3.2 故障停時比重比

故障停時比重比di為某子系統因故障造成的平均維修時間與整機因故障造成的平均維修時間的比值. 這里的平均維修時間是指除去停機時等待維修人員到來、意外因素造成維修時間浪費等因素的單純維修時間，其能夠較為全面地反應各子系統在經歷故障時通過維修恢復正常工作的能力.

第i個子系統的平均維修時間越長，說明其維修性越差，應分配較低的故障率.

3.3 可靠性影響度

可靠性影響度是識別關鍵子系統可靠性對整機可靠性影響的一個重要指標. 影響度相對較高的子系統，在整個故障周期內，對于整機失效率的貢獻度就越高，因此應分配相對較低的故障率.

子系統可靠性影響度為

Ii=?R(t)/?Ri(t).

(7)

在求解子系統可靠性影響度時，仍將數控車床視為傳統串聯系統，不考慮故障相關性模型. 因此，式(7)可以改寫為

科學管理決策，是宏觀籌劃和微觀創造的有機統一。實踐證明，國防動員建設發展，既要著眼于宏觀設計，也要根植于微觀實踐。加強國防動員理論研究，不僅要從宏觀上研究統領國防動員建設的規劃，也要從微觀上加強一個個具體問題的研究，確實使我們的研究接地氣、往下落，實在管用。

3.4 子系統復雜度

子系統復雜度CMi定義為其所含重要零部件的數目與數控機床整機所含重要零部件的比值. 若第i個子系統復雜度越高，說明其包含的重要零部件的數量越多，因而出現故障的可能性就越大，在分配過程中應給予較高的故障率，且

式中∶ ni即為第i個子系統所含重要零部件的數目.

以上提到的前3種分配因素都可以根據數控機床現場監測及客戶反饋數據整理獲得，而子系統復雜度可根據FMEA對于子系統的結構分析獲得. 所有的4種分配因素均是根據最真實的現場數據以及對于數控機床結構的深入了解獲得，充分體現了分配的客觀性和真實性.

4 數控車床可靠性分配法

首先建立針對各分配因素的比例矩陣Bk∶

(8)

根據現有文獻，權重向量W一般通過專家打分或熵權法得到. 根據綜合分配矩陣和權重向量得到分配向量的表達式

A={A1,A2,…,AN}=W·Γ.

Fi1(t),1,…,Fi2(t),…,Fiq(t),1,…,1)=

(9)

數控車床共有N個子系統，若其中n個子系統具有故障相關性，則其余m=N-n個子系統相互獨立. 整機可靠度可以表示為

(10)

若在N個子系統中，其中n1個子系統具有相關性，另n2個子系統具有相關性，依此類推，得到數控車床整機可靠度為

式中∶N1,N2,…,Nσ分別為具有故障相關性的子系統數，其和為N-m.

(11)

根據現有文獻，選取初始階段t=1進行分配. 將λobj轉換成可靠度指標Robj，通常認為數控車床故障規律服從指數分布，即

Ri(t)=e-λit.

5 實 例

針對第4節提出的分配方法，本節通過數控車床實例進行分析說明. 結合FMECA，將數控車床分為8個關鍵子系統，各子系統的觀測失效率及傳統嚴重度等級如表1所示.

表1 數控車床子系統嚴重度取值及觀測失效率

Tab.1 Severity values and observed failure rates of all the subsystems

子系統名稱子系統符號Siλi/10-4主傳動系統M70．32進給系統F50．48冷卻系統B40．64轉塔刀架T101．76裝夾附件C90．96液壓系統H30．48電氣系統E84．64防護系統P10．16

(12)

將子系統Si取值代入式(12)即求得轉換嚴重度取值，結合式(4)～(6)得到各子系統修正的危害度取值如表2所示.

表2 數控車床子系統轉換嚴重度、成本及修正的危害度取值Tab.2 Transformed severity values, costs and modified criticality values of all the subsystems

將修正的危害度作為分配的第1個因素，根據數控車床故障信息及結構信息，第3節提到的4個因素取值如表3所示.

表3 故障次數比重比等4種分配因素取值

根據表2和表3中的數據，計算比例矩陣Bk，進而得到綜合分配矩陣

根據專家打分得到分配權重向量

W={0.30, 0.16, 0.14, 0.22, 0.18}，

進而得到分配向量A={0.488 5,0.527 3,0.540 1,0.452 1,0.487 7,0.562 4,0.361 8,0.580 1}.

本文用tMTBF表示整機平均無故障工作時間. 要求整機MTBF達到1 500h，即tMTBF=1 500h，根據指數分布的性質得到失效率分配目標值λobj=1/tMTBF≈0.000 666 7. 若基于獨立假設，將λobj按分配向量中的比值分配給各子系統，分配結果如表4所示.

表4 基于獨立假設的失效率分配結果

下面考慮子系統故障相關性進行可靠性分配. 首先考慮進給系統(F)和裝夾附件(C)的故障相關性，其余子系統之間視為獨立. 得到整機可靠度為

(13)

e-[(-ln(1-RF(t)))θ+(-ln((1-RC(t))))θ]θ,

表5 考慮兩個子系統相關性的失效率分配結果

Tab.5 Allocation results when considering failure correlation between two subsystems

子系統符號MFBT失效率分配值/10-58．318．979．197．69子系統符號CHEP失效率分配值/10-58．309．576．169．87

進一步考慮所有子系統的相關性，得到分配結果如表6所示.

表6 考慮所有子系統相關性的失效率分配結果

Tab.6 Allocation results when considering failure correlation among all the subsystems

子系統符號MFBT失效率分配值/10-510．1911．0011．269．43子系統符號CHEP失效率分配值/10-510．1711．737．5512．10

圖1是在所有子系統故障關聯的情況下，當相關參數取不同值時，主傳動系統(M)的分配失效率與整機可靠度之間的關系. 圖2為在獨立假設、考慮兩系統故障相關性和考慮所有子系統故障相關性的情況下，各子系統失效率的分配值. 可以看出，在保證整機失效率分配目標值不變的情況下，考慮子系統故障相關性的可靠性分配能夠使子系統得到較高的失效率，這意味著在子系統的可靠性設計上所需要的成本得以降低，對于數控機床的設計制造具有重要意義. 另外，相關參數θ越小，說明子系統間相關性越強，因此在整機失效率目標值一定時，子系統分配的失效率越高. 當θ=1時，子系統之間完全獨立，若要達到相同的可靠性指標，分配的失效率最低.

圖1 主傳動系統失效率與整機可靠度的關系曲線

Fig.1 Relationship between failure rate of main driving system and reliability of the lathe

圖2 考慮子系統不同相關性情況時失效率分配值

Fig.2 Allocation results when considering different situations of failure correlation

6 結 論

1) 基于數控車床FMECA，考慮子系統嚴重度的三階轉換函數及降低子系統失效率所需成本，建立修正的危害度表達式，充分體現了故障分析對于可靠性分配的重要作用.

2) 考慮子系統故障相關性，利用Copula函數建立整機可靠度模型，進而提出一種針對5種分配因素的可靠性分配法. 選取的分配因素客觀性較強，且整機可靠度模型充分研究了子系統之間的故障相關性，更加符合數控車床運行的實際狀態.

3) 通過數控車床實例論證說明了本文分配方法能夠充分考慮數控車床故障信息及結構信息，且考慮故障相關性的分配結果能夠使得子系統在設計、生產制造中的成本得以降低，有利于數控車床的改進設計.

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(編輯 楊 波)

Multi-factor reliability allocation method of CNC lathes considering failure correlation

WANG Hao, ZHANG Yimin, YANG Zhou, LIU Panxue

(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

∶ Taking CNC (computerized numerical control) lathe as research object, this paper aims at drawbacks of the allocation model based on traditional failure independence hypothesis, and a multi-factor reliability allocation is proposed considering failure correlation among subsystems. Copula theory was applied to failure correlation analysis, and reliability function of CNC lathe was established. According to the failure mode effects and criticality analysis (FMECA), traditional computational formula of criticality was modified. Allocation matrix was established considering several allocation factors to get allocation vector, and allocation vector and reliability function of CNC lathe was combined to get failure rates of all the subsystems. The allocation method was applied to a specific example of a CNC lathe, and results were analyzed and compared considering different situations of failure correlation. It can be concluded that the allocation results of failure rate considering failure correlation are better than those based on failure independence hypothesis. Therefore, the allocation method proposed in this paper is of great significance in reducing the costs for design and manufacture of subsystems of CNC lathe.

∶ CNC lathe; FMECA; failure correlation; Copula; modified criticality; reliability allocation

∶ 2016-06-16

∶ 國家自然科學基金(51135003，U1234208)； "高檔數控機床與基礎制造裝備"科技重大專項課題(2013ZX04011-011)；中央高校基本科研業務費(N150304006)；遼 寧省高等學校優秀人才支持計劃(LJQ2014030)

∶ 王 昊(1991—)，男，博士研究生; 張義民(1958—)，男，長江學者特聘教授，博士生導師

∶ 張義民，ymzhang@mail.neu.edu.cn

TB114.3

A

0367-6234(2017)07-0093-07