試分析“構造法”在高中數學解題中的運用

劉玲

摘 要：在運用構造法的解題過程中，學生其實主要就是要實現“未知量”與“已知量”之間的轉化，然后獲取更多的有利于解題的條件，從而更為快速地解決難題。因而教師在介紹“構造法”時，會著重突出它的核心思想——轉化相關條件，只有構造出與原問題相關的輔助問題，才能探索出解題的奧妙，進而逐步發現構造法解題的優勢，久而久之，學生就會將此種解題方法的思想牢記于心，自然也就為自己解題的正確率增設了一道屏障。本文主要從三個反面分析了在高中數學解題中如何巧妙運用“構造法”的方法達成目的，并結合典型的教學案例呼吁高中數學教師不能忽略這一重要解題思想。

關鍵詞：構造法；高中數學；解題

全新的課程教育改革對高中生的學習狀態提出了明確的要求：基于一定量的數學題之上，學生要學會從另一個角度思考并解決問題。這一明令的潛在要求就是在數學學習中，高中生需要掌握轉化思維的解題能力，將一個問題的共通性質串聯起來，這樣更有利于解題的全面性與規范性。出于提高學生學習數學興趣的目標，構造法恰好能夠較好地應對這一問題。數學題目原先一定是枯燥的，因為它缺乏一定的問題情境，在進行一番構造之后，學生可以列出相應的函數方程或不等式，或者畫出對應的圖形，而后才能在此基礎之上繼續學習活動，這一過程非常考驗學生的觀察能力、分析能力及創造能力，與現代素質教育的要求完全吻合。

一、依據已知條件構造相關函數

簡而言之，“構造法”就是指根據題目中的已知條件或結論，再結合其特有的性質進而構造出滿足已知條件的數學模型。在學習《解不等式》這一內容時，學生通常會選擇直接法來解題，但是直接法解題的過程又來得很煩瑣，中間也易導致錯誤，所以很多學生在解多元不等式時總是無法靜下心來，導致錯誤率激增。自從“構造法”創造出來，數學教師將其運用到例題講解中之后，學生的正確率明顯有了上升的趨勢。因為“不等式”問題通常建立在函數單調性的基礎之上，因此除去直接證明不等式的成立，還可以通過構造函數的方法證明其單調性，然后通過畫圖來解釋結論的正確性。在《不等式》問題中，構造法的突出效果就是簡潔明了，具有較大的靈活性與技巧性，但同時構造對應的函數也是具有一定難度的，因為不等式的右邊一定要最簡便，正常情況下為1，只有這樣才能夠通過畫圖來判斷不等式最終是否成立。

例如，已知x，y，z均屬于區間（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+x（1-x）<1。這是一道含有三個變元的不等式證明題，如果高中生采用直接證明法的話會出現解到一半無法繼續的問題，因此我們可以采取構造法解決問題。

證明：先構造一個函數：f（x）=（y+z-1）x+（yz-y-z+1）。然后針對這一函數進行分析，給出以下證明過程：因為y，z∈（0，1），所以f（0）=yz-y-z+1>0恒成立， f（1）=（y+z-1）+（yz-y-z+1）>0也恒成立，而易得f（x）就是一個單調遞增的一次函數，它所得的圖線就是一條直線。所以綜上所述，f（x）>0恒成立，從而不等式恒成立，整理可得出結論：x（1-y）+y（1-z）+x（1-x）<1。

二、根據等量關系構造方程式

對于比較復雜的數學應用題，一定會運用到自變量與因變量這一概念，因此也可以根據需要結合有利的條件進行思路框架的設計。無論是“一元二次方程”還是“二元二次方程”，都是為解決未知量的值服務的，所以在遇到具有定量關系式的題目時，我們可以利用構造方程式的方法來解決問題。

例如，在學習《一元二次方程》的相關內容時，商店里的某商品進價為50元，要是按50元的單價出售可以賣出400臺，每漲1元，銷售量就會少10臺，問價格為多少時利潤最大？遇到這種題目時，如果不借助設變量的話是很難解決的。因此我們可以設利潤為W，設漲價x元，可以列出一下方程式：W=（50+x）（400-10x）-50（400-10x）=x（400-10x）=-10x2+400x。由此可得一個關于x的方程，然后求得其對稱軸，得出最大利潤的取值x即可。

三、按照題目要求構造平面圖形

一般而言，高中數學中的代數問題如果單單從代數這一角度來尋求解題的方法，學生是很難找到解題的突破口的，往往都比較困難或者過程很復雜。數學解題思想中，“數形結合”的方法也尤為重要。所謂數形結合，就是要求學生能夠把數學代數問題將平面圖形或者空間立體圖形結合起來，在腦海中構建出相應的數學模型，然后在該圖形的基礎之上解題。這樣通常都能增加問題的直觀程度，讓學生的解題思路更為清晰，從而答題過程中取得事半功倍的佳績。

例如，在解答上述那道不等式題目時，不僅可以運用構造函數的方法解決，也可以利用構造平面圖形的方法解決，雖然這類解題方法不易敘述，但是卻更能直觀地標明不等式的正確性，因此也是一種非常有效的解題方法。在解題時，我們可以構造三邊相等，長度為1的等邊三角形△ABC，D，E，F分別為AB，BC，AC邊上的三點，設BD長度為x，CE長度為y，AF長度為z，然后通過三角形的面積公式S=底乘以高除以2，求得各三角形的形狀，然后兩兩相加，比較出不等式的答案。構造法通常都能打破常規的解題方式，給學生帶來一片嶄新的天地，便于學生精巧、便捷地解答，以達訓練解題能力的目的。

四、結語

“構造法”給高中生數學解題提供了很大的便利，它的核心解題思想著重突出了“他山之石，可以攻玉”的特點，因此當學生看到一道數學題目之后無從下手時，不妨首先想想構造法可不可以解決。不難發現，在用構造法解題的過程中，問題會變得迎刃而解，且方法巧妙，引人入勝。因此在高中數學中，教師要將“構造法”歸為教學的一大重點，注重對高中生解題方法中“構造意識”的建立。其實構造法也是切換問題形式的方式之一，這類解題方法考驗的是學生的聯想想象、另辟蹊徑以及換化條件的能力，若學生能夠將構造法運用得出神入化，就證明他們已經具備了基本的創新意識與探究意識，智力也得到了一定開發。

參考文獻：

1.耿燕.高中數學解題教學中如何巧用構造法[J].語數外學習：數學教育，2013，02.

2.德吉.試論高中數學解題中運用構造法的措施[J].西藏科技，2015，03.

（作者單位：湖北省襄陽東風中學）