時滯系統穩定性綜合研究

楚曉麗+項婷婷

摘 要：時滯現象廣泛存在于各類工業系統中，文章對時滯系統分類闡述，從頻域與時域的角度，將近些年的研究成果與分析方法羅列開來，并詳解處理時滯依賴與時滯獨立的變換方法，并對穩定性的分析進行比對，簡要的概述了Lurie時滯系統與隨機系統的研究情況，最后對時滯系統的發展做了展望。

關鍵詞：時滯系統；穩定性；時域法；頻域法；系統變換

中圖分類號：TP273 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2017）19-0080-03

1 概述

在現代工業系統中，時滯問題廣泛存在，例如通信、傳送、化工過程、冶金過程、環境、電力系統等都是典型的時滯系統[1]。而時滯系統通常使用泛函微分方程描述。時滯微分方程的形式為：

連續的時滯系統是無窮維的，特征方程是超越方程，而且具備無窮多個特征根，離散的時滯系統的維數隨著時滯的長度以幾何規律增加。因此時滯系統的穩定性分析和控制器設計均面臨著諸多困難，在理論與實際應用方面都具有極大挑戰性[2]。

學者關注并研究的時滯系統包括奇異時滯微分系統、脈沖時滯微分系統、Lurie時滯系統、中立型時滯系統和隨機時滯系統等幾個類別。

2 時滯系統穩定性研究的概況

穩定性的研究是自控理論的基本問題，也是時滯系統需要解決的理論基礎問題，早期研究方法為頻域法和時域法。

2.1 頻域法

頻域法有一定局限性，只能用于時不變時滯系統的穩定性分析，因為該法主要基于涉及特征根的分布或Lyapunov矩陣函數方程求解。時滯系統的閉環特征方程無窮多解的特點有助于研究系統穩定性，具備物理意義強、計算機量小的優點。

Zhong推導出非周期干擾條件的積分過程[3]，chiasson J

N[4]分析了超越特征方程根的分布情況與穩定的條件， Thows

en[5]通過把特征方程變換為非超越方程，得出Routh-Hurwitz型穩定性判據。Watanabe等[6-7]對有限譜配置分析了穩定性問題。胥布工分析了多時滯線性時不變系統的穩定性問題，并得到了判定標準[8]。Zhang J[9]得到了Lyapunov方程的線性時滯系統穩定條件，并推導出魯棒性分析的小增益定理間的等價關系等。

由于特征方程的原因，頻域法不容易處理參數時變或含有不確定項的時滯系統，而且在設計控制器時，也不易處理中立型系統、多變量的高維系統和非線性微分系統等。

2.2 時域法

時滯系統的穩定性研究和控制器設計的是時域方法，主要為Krasovskii-Lyapunov 泛函法、Razumikhin-Lyapunov函數法及時滯不等式方法。構造Lyapunov泛函或函數常用riccati方程和LMI工具（線性矩陣不等式），時滯不等式是解決非線性、變時滯、無限時滯等復雜問題的有效手段。關于非線性和不確定時滯系統的穩定性研究上，Razumikhin 穩定性定理[10]是重要成果。Trinh等[11]基于該結論對延時的非線性擾動條件下的線性系統進行分析，得到了鎮定結果。Park[12]變換模型，豐富了Razumikhin 穩定性定理。Jankovic[13]對時滯系統的系統化Lyapunov-Razumikhin函數構造方法分類整理。

3 處理時滯系統時的變換方法

無論上述何種方式分析穩定性，最終都分類為時滯獨立或時滯依賴的穩定性分析，其分類的條件主要為是否依賴于時滯與時滯大小的問題。

以單時滯線性系統為例[1]

時滯依賴的穩定性條件：在該條件下，系統穩定性依賴于滯后時間d，是否穩定也取決于d。時滯獨立的穩定性條件：在該條件下，對所有的時滯d>0，系統是漸進穩定的。該條件與系統滯后時間的狀態無關，適用于不確定滯后時間和未知滯后時間的系統穩定性研究。但是任意大時滯的條件下的穩定，導致結果會很保守，尤其是小時滯系統。所以在該類系統的穩定性分析研究上需要解決的重點是擴大系統的穩定時滯上界，盡可能地減少保守性。

3.1 變換一[14]

該變化情況在時滯性較大的條件下，穩定性偏保守。

3.2 變換二[15-17]

將系統變換為中立型系統，對中立型系統的穩定性研究，推導出原系統的穩定性，其重點是要求差分算子穩定，即

3.3 變換三[18-20]

3.4 變換四

把系統變換為奇異系統

奇異系統方法由fridman[21]提出，保守性相對前四種最小。其計算Krasovskii-Lyapunov泛函沿系統軌線的導數時，一直將x（）、x（t）視為獨立變量處理。

3.5 其他變換方式

由于前四種變換方式未實現解決與時滯獨立的穩定性結果，仍存在一定的保守性，關鍵在于沒有很好地處理與時滯依賴的穩定性問題。所以在改進向量積上界的大量研究中， Park[20]提出了向量積不等式：

Moon[19]在此基礎上改進并引入了以下不等式，保守性最?。?/p>

大量的文獻研究表明：在研究基于線性矩陣不等式的時滯系統時，包括系統與時滯相關的穩定性問題及設計控制器問題等，最好的辦法是把奇異系統與Moon不等式有效結合，最大程度上降低保守性。

4 其他時滯系統的研究情況

4.1 Lurie時滯系統

作為自控理論中的主要分支，Lurie時滯系統也得到了廣泛關注與研究。王聯[22]建立Lyapunov 泛函，分析系統穩定性，推導出時滯無關系統本身的絕對穩定性條件。甘作新等[23]改進前者思路，分析了多線性系統的絕對穩定性。年曉紅[24]關注Lurie時滯直接控制系統，并得到了時滯的穩定性條件，楊斌等[25]構造Lurie型Lyapunov泛函，研究了矩陣不等式與時滯問題的相關結論。

4.2 隨機時滯系統

Mao[26]構造Lyapunov函數，提出了一類不確定隨機時滯系統的基于矩陣范數的時滯相關均方指數穩定性條件。Yue 和Won[27]在Niculescu[28]的基礎上，把確定型時滯系統與時滯相關的成果應用到隨機時滯系統的穩定性研究上，提出了基于現行矩陣不等式的時滯相關條件。該研究主要問題在于系統穩定的時滯上界難以確定，僅僅通過預調參數矩陣的方法，并不具備通用性。

5 問題與展望

時滯系統穩定性研究與控制器設計的成果顯著，但也有一些難點需要關注：部分時滯系統如何有效的通過LMI工具轉化解決，計算量和保守性此消彼長的情況困擾研究者，穩定性準則受困于保守性，非線性系統的研究成果沒有線性系統多。

今后時滯系統的穩定性研究將在以下方面深入發展：部分時滯系統在進行LMI處理時可以考慮通過多項式優化的方法滿足要求。計算量與保守性的矛盾問題，考慮構造參數依賴的Lyapunov泛函的選取上尋找優化方法。穩定性的分析可以卡率二次分離原理。非線性的時滯穩定性研究應該也會逐漸豐富。

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