動(dòng)點(diǎn)軌跡問題拓展性教學(xué)設(shè)計(jì)探究

□朱立斯

（湖州市第五中學(xué)，浙江湖州 313000）

動(dòng)點(diǎn)軌跡問題拓展性教學(xué)設(shè)計(jì)探究

□朱立斯

（湖州市第五中學(xué)，浙江湖州 313000）

點(diǎn)的軌跡常以直線和圓弧為主.教師可以借助等長(zhǎng)判別法和等角判別法兩種方法幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，進(jìn)而解決點(diǎn)的軌跡為圓弧的一類問題.也可以引導(dǎo)學(xué)生使用坐標(biāo)判別法解決點(diǎn)的軌跡為直線的一類問題.

初中數(shù)學(xué)；動(dòng)點(diǎn)軌跡；直線；圓弧

拓展性課程以培育學(xué)生的主體意識(shí)、完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為宗旨，從教學(xué)內(nèi)容、目標(biāo)及過程中開發(fā)學(xué)生的潛能，促進(jìn)學(xué)生個(gè)性的發(fā)展，是一種體現(xiàn)不同基礎(chǔ)要求、具有一定開放性的課程.

近年來，在各地中考中出現(xiàn)一類求動(dòng)點(diǎn)軌跡的問題，這一熱點(diǎn)問題與高中數(shù)學(xué)教學(xué)緊密銜接，故以動(dòng)點(diǎn)軌跡問題為專題的拓展性課程勢(shì)在必行.由于較難確定動(dòng)點(diǎn)軌跡的形狀，學(xué)生往往無從下手．通過此課程的學(xué)習(xí)，能讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)解決動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的常用方法，提高學(xué)生綜合運(yùn)用圓與一次函數(shù)等知識(shí)的能力.在解決動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的過程中，滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程等思想方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)和將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自己的想法，勇于質(zhì)疑，大膽創(chuàng)新，養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.

一、點(diǎn)動(dòng)成圓

（一）等長(zhǎng)判別法

動(dòng)點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離為定值．其原理為圓的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡.

例1如圖1，一根長(zhǎng)為2m的木棒AB斜靠在墻角處，此時(shí)BC為1m，當(dāng)A點(diǎn)下滑至A處并且A′C=1m時(shí)，木棒AB的中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為____.

圖1

答案解析如圖2，連結(jié)CP，CP′．

∵∠ACB=90°，BC=1m，AB=2m，

∴∠BAC=30°，

∵P是木棒AB的中點(diǎn)，

∴PC=PA=1m，

∴∠PCA=30°，

同理求出∠B′CP′=30°，

則∠PCP′=30°，

圖2

功能分析基礎(chǔ)題.此題為學(xué)生之前遇到過的常規(guī)題，意在讓學(xué)生回憶動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓弧

故答案為的情況，理解等長(zhǎng)判別法的含義，理解動(dòng)點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離為定值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓弧.

教學(xué)建議在學(xué)生自主解答的基礎(chǔ)上，著重引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半這個(gè)性質(zhì)得到動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)C的距離為定值1，故動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧.

練習(xí)1如圖3，在Rt△ABC紙片中，∠C=90°， AC=BC=4，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，將紙片沿PB折疊，得到點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D（P在C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是本身），則折疊過程對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的路徑長(zhǎng)是____．

圖3

答案解析∵∠C=90°，AC=BC，

∴△ABC是等腰直角三角形.

如圖4，點(diǎn)D的路徑是以點(diǎn)B為圓心，以BC的長(zhǎng)為半徑的扇形，路徑長(zhǎng)=

圖4

故答案為：2π．

功能分析中檔題.進(jìn)一步理解動(dòng)點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離為定值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓弧.培養(yǎng)學(xué)生挖掘隱含條件和潛在信息，理性分析運(yùn)動(dòng)過程中所保持的不變性質(zhì)的能力.

教學(xué)建議在例1的基礎(chǔ)上解決本題，許多學(xué)生有了經(jīng)驗(yàn)方法，可以大膽放手讓其嘗試，教師只需適時(shí)點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)D到定點(diǎn)B的距離為定值4，故動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧.只需要知道動(dòng)點(diǎn)D的起點(diǎn)與終點(diǎn)即可求出路徑長(zhǎng).

變式1如圖5，在平行四邊形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是_________．

圖5

答案解析由題得動(dòng)點(diǎn)A′到定點(diǎn)M的距離為定值2，故動(dòng)點(diǎn)A′的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧.作ME垂直CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由勾股定理易得：CM=7，故最小值為MC-A′C=7-2=5.

故答案為5.

功能分析拓展題.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用動(dòng)點(diǎn)軌跡的知識(shí)解決其他類型的題目，拓寬學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用能力.

教學(xué)建議師生共同分析，教師可以讓有能力的學(xué)生多發(fā)表自己的見解，抓住機(jī)會(huì)點(diǎn)撥，表揚(yáng)他們，也可以鼓勵(lì)其他學(xué)生積極探索，查找自己的思維誤區(qū)，爭(zhēng)取有新的突破.

（二）等角判別法

一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值.其原理為圓周角定理：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.反之，若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P能使得以其為頂點(diǎn)的∠APB大小不變，且AB為固定線段，則點(diǎn)P就在以AB為一條弦且過點(diǎn)P的圓上運(yùn)動(dòng)（如圖6）.

圖6

例2如圖7，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為___________．

圖7

答案解析如圖8，聯(lián)結(jié)AC，AO，由AB⊥CD，利用垂徑定理得到G為AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)的定義確定出OG的長(zhǎng)，在直角三角形AOG中，由AO與OG的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出AB的長(zhǎng)，由CO+GO求出CG的長(zhǎng)，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始終為直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為直徑的半徑，當(dāng)E位于點(diǎn)B時(shí)，CG⊥AE，此時(shí)F與G重合；當(dāng)E位于D時(shí)，CA⊥AE，此時(shí)F與A重合，可得出當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)，在直角三角形ACG中，利用銳角三角函數(shù)定義求出∠ACG的度數(shù)，進(jìn)而確定出所對(duì)圓心角的度數(shù)，再由AC的長(zhǎng)求出半徑，利用弧長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為

圖8

功能分析本題的解決，意在讓學(xué)生理解當(dāng)一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧.為后面的練習(xí)做鋪墊.

教學(xué)建議師生共同分析，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)F與定點(diǎn)A，C所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值（即∠AFC=90°），故動(dòng)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，線段AC是直徑，因此只要知道點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)與終點(diǎn)便可得出答案.

練習(xí)2如圖9，直線y=-x+4與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BP，過點(diǎn)A作AM垂直于直線BP，垂足為M，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為____．

圖9

答案解析根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)可得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可得點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑是以AB的中點(diǎn)N為圓心，AB長(zhǎng)的一半為半徑的，易得的長(zhǎng)度為

功能分析本題的解決，意在鞏固學(xué)生對(duì)當(dāng)一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧的理解.

教學(xué)建議 學(xué)生獨(dú)立完成，師生共同訂正答案.教師小結(jié)，等角判別法：動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)A，B所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值（即∠AMB=90°），動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，線段AB是直徑.

變式2如圖10，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是邊AB和BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且BD=CE，AE與CD相交于點(diǎn)P，則BP長(zhǎng)度的最小值是____________.

圖10

答案解析由△BCD與△ACE全等可以得到動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)A，C所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值∠APC=120°，故動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，線段AC是弦.如圖 11，易得 BP=

圖11

功能分析拓展題.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧的知識(shí)解決其他類型的題目，拓寬學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用能力.

教學(xué)建議師生共同分析，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖中△BCD與△ACE全等，再引導(dǎo)學(xué)生判別動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，最后讓部分學(xué)生發(fā)表自己的見解，抓住機(jī)會(huì)點(diǎn)撥，表揚(yáng)他們，也可以鼓勵(lì)其他學(xué)生積極回答.

設(shè)計(jì)小結(jié)確定動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓的一般方法有兩種，等長(zhǎng)判別法和等角判別法.幾何動(dòng)點(diǎn)路徑問題需要挖掘隱含條件和潛在信息，理性分析運(yùn)動(dòng)過程中所保持的不變性質(zhì)，在此過程可通過畫圖（起點(diǎn)、終點(diǎn)、中間關(guān)鍵點(diǎn)）判斷路徑形狀和范圍，然后通過數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析驗(yàn)證及幾何建構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

二、點(diǎn)動(dòng)成線

坐標(biāo)判別法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)都能用同一個(gè)變量x（指數(shù)為1）表達(dá)時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為一直線.

例1如圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2， 0），B（0，3），過點(diǎn)B作直線∥x軸，點(diǎn)P（a，3）是直線上的動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊在AP右側(cè)作等腰Rt△APQ，∠APQ= Rt∠，直線AQ交y軸于點(diǎn)C．當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)表達(dá)式為__________.

圖12

答案解析過點(diǎn)P作EF⊥OA，垂足為E，過點(diǎn)Q作QF⊥EF，垂足為F，如圖13．

易 得 △PEA≌△QFP．

圖13

∴PE=QF，EA=PF．

若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，3），則PE=QF=3，EA= PF=|2-a|．

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a+3，5-a）．

∵無論a為何值，點(diǎn)Q的坐標(biāo)（a+3，5-a）都滿足一次函數(shù)解析式y(tǒng)=-x+8，

∴點(diǎn)Q始終在直線y=-x+8上運(yùn)動(dòng)．

功能分析培養(yǎng)學(xué)生利用求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)從而得知?jiǎng)狱c(diǎn)軌跡的判別方法.理解坐標(biāo)判別法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)都能用同一個(gè)變量x（指數(shù)為1）表達(dá)時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為一直線.

教學(xué)建議師生共同分析，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生在直角坐標(biāo)系中，根據(jù)條件求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再提示可以用K形圖來解決這個(gè)問題，然后請(qǐng)學(xué)生回答解題步驟.最后再引導(dǎo)學(xué)生判別動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為一次函數(shù)即直線，最后師生一起解出最后答案.

例2如圖14，已知AB=10，P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP，PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△ACP和△PDB，聯(lián)結(jié)CD，設(shè)CD的中點(diǎn)為G，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是______．

圖14

答案解析建立直角坐標(biāo)系使得A（0，0），B（10，0），P（x，0），

功能分析本題雖然不是在直角坐標(biāo)系中，但也可以通過建立直角坐標(biāo)系的方式解決這類動(dòng)點(diǎn)問題，拓寬學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、創(chuàng)新能力等.

教學(xué)建議師生共同分析，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而引導(dǎo)學(xué)生解出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后解出點(diǎn)G的坐標(biāo)，請(qǐng)學(xué)生逐一回答各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后再引導(dǎo)學(xué)生判別動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，只需要求出它的起點(diǎn)與終點(diǎn)，就能求出路徑長(zhǎng).

練習(xí) 如圖15，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，聯(lián)結(jié)EM并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn)F，過M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G，P是MG的中點(diǎn)，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為__________.

圖15

答案解析建立直角坐標(biāo)系使得A（0，2），B（0，0），C（2，0），D（2，2），M（1，2），E（0，x），則G的坐標(biāo)可用含x的代數(shù)式表示，故動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)也可用含x的代數(shù)式表示，則動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為一直線.易得F（2，4-x），由EG=FG可得G（-2x+3，0），P（-x+2，1），故點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為2.

功能分析加強(qiáng)學(xué)生利用建立直角坐標(biāo)系解決動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的能力，拓寬學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、獨(dú)立分析問題和解決問題的能力.

教學(xué)建議學(xué)生獨(dú)立完成，師生共同訂正答案.教師小結(jié)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)都能用同一個(gè)變量x（指數(shù)為1）表達(dá)時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為一直線.只需要求出動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)與終點(diǎn)，就能求出路徑長(zhǎng).

變式如圖16，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y=-x于點(diǎn)N．若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是_________.

圖16

答案解析設(shè)，P（x，-x），則動(dòng)點(diǎn)B的坐標(biāo)可用含x和a的代數(shù)式表示，因?yàn)閍是一個(gè)定值不是變量，所以動(dòng)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡為一直線.由∠APB=30°，BA⊥PA，得如圖17，建立K形圖，則△ABF∽△PAE，故，由PE=a+x，，得，故當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故路徑長(zhǎng)為

圖17

功能分析拓展題.加深學(xué)生對(duì)點(diǎn)動(dòng)成線問題的理解.

教學(xué)建議師生共同分析，教師可以先引導(dǎo)設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再引導(dǎo)學(xué)生利用K形圖解出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后再引導(dǎo)學(xué)生判別動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，只需要求出它的起點(diǎn)與終點(diǎn)，就能求出路徑長(zhǎng).教師可以讓有能力的學(xué)生多發(fā)表自己的見解，抓住機(jī)會(huì)點(diǎn)撥，表揚(yáng)他們，也可以鼓勵(lì)其他學(xué)生積極發(fā)言，激發(fā)思維.

設(shè)計(jì)小結(jié)就初中數(shù)學(xué)而言，求動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)，不外乎求線段長(zhǎng)或弧長(zhǎng).一般來說，在排除點(diǎn)動(dòng)成圓的情況下，如果圖形能建立合適的平面直角坐標(biāo)系，借助函數(shù)知識(shí)，可以巧妙地解決這類點(diǎn)動(dòng)成線的問題.這種數(shù)形結(jié)合思考問題的方法，是高中數(shù)學(xué)平面幾何的基本方法.這種方法的學(xué)習(xí)為初高中知識(shí)的銜接，做了良好的鋪墊.