幾種常用GPS高程擬合模型對比分析

郝玉珠，羅竹，張俊

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幾種常用GPS高程擬合模型對比分析

郝玉珠，羅竹，張俊

（貴州大學礦業學院，貴陽 550025）

GPS高程擬合結果受研究區地形起伏、重力異常、數據質量、點位分布等復雜因素影響，很難有統通用的廣泛適用性擬合模型。該文通過工程實例討論了幾種常用GPS高程擬合模型及其特點，得出有益結論。

高程異常；GPS高程擬合；平面擬合；對比分析

傳統的幾何水準測量雖然具有測量精度高、操作簡單等優點，但是在測區距離長、范圍大的情況下，通常需要花費大量的人力物力，因此效率較低[1]。為解決這一問題，許多測繪科技工作者研究利用高精度三角高程測量代替水準測量，取得了一定成果[2-4]。但三角高程測量依然是一種常規測量方法，野外作業效率提高不明顯，且目前只有在十分嚴格的條件下才可以取代低等級水準測量。近年來，隨著GPS技術在工程應用中的普及，越來越多學者開始研究利用GPS技術解決傳統水準測量野外作業效率低下的問題[5~7]。解決這一問題的途徑是采用一定的數學模型擬合給定區域范圍的似大地水準面，當擬合模型確定后，即可利用一點的平面坐標計算出該點的正常高，這一技術被稱為GPS高程擬合。GPS高程擬合關鍵是找到適合于研究區域的數學曲面模型，當給出的數學曲面與研究區域似大地水準面有最佳密合時，可以較高的精度滿足工程實際需求。但是，由于影響高程擬合的因素非常復雜，這一技術需要通過在所研究得工程區域范圍內進行數據采樣，并通過實驗來確定擬合模型。該文利用某地區實際工程測量數據，研究GPS高程的三種擬合模型，即平面、二次曲面和多面函數三種GPS高程擬合方法及其特點，通過對三種方法的對比研究，得出了一些結論，并給出利用這三種方法進行GPS高程擬合的建議。

1 三種高程系統及其關系

測量中，使用的高程系統根據定義的基準面和基準線不同，可分為三種。第一種是正高系統，這種高程系統以大地水準面為高程基準面，地面上任一點的正高系指該點沿垂線方向至大地水準面的距離；第二種是正常高系統，這種高程系統以似大地水準面為基準面，一點的正常高是指該點沿正常正常重力線到似大地水準面的距離，似大地水準面是由地面沿鉛垂線向下量取正常高所得點形成的連續曲面，它不是真實的物理面，只是用以計算的輔助面；第三種是大地高高程系統，一點的大地高是該點沿法線方向至參考橢球面的距離。

以上三種高程系統在不同場合都有應用，我國規定在工程實際中，使用正常高系統。三種高程系統的關系如圖1所示。

圖1 三種高程系統

表1 已知數據表（單位：m）

由上圖可知，大地高與正常高的關系為：（1）

2 三種常用的GPS高程擬合模型及其原理

實施GPS 高程擬合技術時，需要首先在工程區域若干控制點上同時進行GPS測量和水準測量，從而獲取控制點上的大地高、平面坐標和正常高，根據這些點對應的大地高和正常高利用式（1）求出各點的高程異常值，當完成以上準備工作后，選擇合適的數學擬合方法擬合出測區內的似大地水準面，確定擬合參數，最后利用點的平面坐標和擬合模型通過內插，計算出曲面上其它點的正常高。

2.1 平面擬合法

當測區范圍很小且比較平坦時，可以近似地認為大地水準面趨于一個平面，高程異常已知點坐標滿足如下表達式:

（2）

注意到，表達式中有aaa三個未知數，所以至少需要三個已知點，當已知點多于三個時，用最小二乘法求解[8]模型參數即可。

2.2 多項式曲面擬合法

多項式擬合的實質是構造一個多項式函數，使得該多項式函數所代表的曲面盡可能逼近高程異常的趨勢曲。設測區內的任意一點的高程異常與平面坐標有如下關系：

（3）

式中，為高程異常的趨勢面，為殘差。由于高次多項式會帶來震蕩問題[9]，所以一般采用二次曲面擬合，即設：

式中6個未知數，故二次多項式至少需要6個已知點，即，當有多于6個的水準點聯測時，則可以得到如下矩陣形式：

（5）

根據最小二乘準則求得向量的解，即AAAz后，由（4）式給出的二次曲面擬合模型即被確定。

2.3 多面函數擬合法

該方法理論基礎為：任何表面,無論其是否規則,都能通過一定的方法構造出一個或多個規則的數學表面去逼近其表面[10]。這種方法實施原理為：在每個插值點上，同所有的已知數據點分別建立函數關系，并將這些多面函數的值疊加起來，以獲得最佳的曲面擬合值。假設高程異常函數為：

式中，C為待定系數，為待定點坐標，xy為已知點坐標，xy為的二次核函數。一般情況下，可選取簡單的對稱的距離性的核函數，即

（7）

按最小二乘法原理，求得：

圖2 點位分布圖

3 算例及分析

使用文獻[11]的數據進行計算，已知數據見表1。為直觀，本文繪制了點位分布圖，如圖2所示，從圖中可以看出，工程區域控制點分布較均勻，可滿足GPS高程擬合要求。

將表1中17個控制點分為2組，并取10個點為模型的擬合點，后7個點作為檢核點，具體分布如圖2所示。為研究本區域不同GPS高程擬合效果，特采用以下三種擬合方案：

1）利用式（2）給出的平面擬合模型擬合研究區域的高程異常趨勢面，并內插出檢核點正常高。

表2 三種方案擬合殘差

2） 利用式（4）給出的二次曲面擬合模型擬合研究區域的高程異常趨勢面，并內插出檢核點正常高。

表3 三種方案擬合精度

3）利用式（7）給出的多面函數法擬合模型擬合研究區域的高程異常趨勢面，并內插出檢核點正常高。

三種方案擬合結果列于表2和表3，其中表2給出了三種擬合方案的擬合殘差，表3統計了三種方案擬合殘差的極值和外符合精度。

從表2中可以看出，除1號點外，三種方案整體上均達到了較好的擬合效果，絕大多數檢核點擬合殘差均達到了毫米級，但從表3精度統計情況看，方案1擬合精度明顯高于方案2和方案3，其中方案2擬合效果相對最差。分析其原因，主要是因為本研究區域高程起伏不大，似大地水準面趨于緩和，平面模型能夠較好的擬合本區域似大地水準面，而二次曲面由于模型本身數學特點，與平面屬性相差較大，相對擬合效果不及平面模型。多面函數模型本質上也是利用多個非線性曲面擬合本區域似大地水準面，其擬合效果不佳原因也在于該地區高程異常趨勢面客觀上更接近于平面而非其他形式的復雜曲面。另一方面的原因還在于多面函數模型需要確定合適的平滑因子，但目前尚缺乏權威的理論解決這一問題，本文將平滑因子取為25 000，可能不是最佳的。

4 結束語

GPS高程擬合做為一種現代測繪技術，可以大大減少測繪工作者的野外勞動強度，提高工作效率，但是，這一技術的應用受到許多因素限制，必須根據實際工程區域的具體情況通過實驗選擇合適的擬合模型才可以滿足工程要求。本文通過實際測量數據對比研究了三種常用GPS高程擬合模型在本測區的擬合效果，得出平面擬合模型為最佳模型。證明了在不同區域不同自然條件下對應的最佳模型可能是不同的，應根據工程區域實際慎重選擇擬合模型。

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Comparison of Several Common GPS Elevation Fitting Models

HAO Yu-zhu LUO Zhu ZHANG Jun

(Mining College, Guizhou University, Guiyang 550025)

GPS elevation fitting results are easy to be affected by many factors such as topographic relief, gravity anomaly, data quality, measuring point distribution, and so on.As a result, it is difficult to find a model which can be used in any place for GPS height fitting. This paper has a discussion on three GPS elevation fitting models and their characteristics.

elevation anomaly; GPS elevation fitting; plane fitting; quadric surface fitting; polyhedral function fitting

P628+.3

A

1006-0995（2017）02-0335-04

10.3969/j.issn.1006-0995.2017.02.038

2016-06-26

貴州大學“大學生創新創業訓練計劃”項目：“GPS高程擬合方法及其在測量中的應用研究”，項目編號：貴大校創字2014（040）；貴州省教學內容與教學體系改革重點項目：“基于工程教育專業認證標準體系的測繪工程專業課程體系調整與優化（SJJG201413）”貴州大學教育教學改革項目：“三學期之下測繪工程專業課程設置優化方案研究（JG2013045）”

郝玉珠（1992- ），男，甘肅慶陽人，貴州大學測繪工程本科生在讀