你對微積分知道多少

第一次聽說這本書是在我高一剛入學，一個叫“大手牽小手”的活動上。上一屆的學姐給我們推薦了這本書。

翻開這本書，從目錄就可以發現一種鮮明的邏輯性——從最簡單的數字，到數字之間的關系；接著走入幾何，到了形狀；再深一步便是數形結合，談論變化、數據；最后談及前沿。并且每一個部分都由淺及深，讀者會先帶著不同的眼光復習小學乃至幼兒園的知識，得到一些新的體會，然后慢慢被引入更深的、未知的領域，并且完全不需要接受任何晦澀的知識。在閱讀過程中，作者的博學也令我驚嘆。不妨引用圖書簡介中的一句話——“沿途中你會看到數學如何與文學、哲學、法律、醫學、藝術、商業彼此交融，甚至流行文化也能以我們意想不到的方式和數學共舞?！毕旅婢妥屛乙脦讉€書中的片段來說明吧。

（第1部分第4章 交換律）為什么我們會有意無意地忽視或抵制乘法交換律呢？也許是因為在我們的日常生活中，做事的順序往往比較重要，先做還是后做的結果往往不同。你不能先吃蛋糕然后再去買蛋糕；你也不可能先脫襪子，然后再脫鞋子。

著名的物理學家穆雷·蓋爾曼對交換律有著十分“獨特”的認識。這位十分成功的科學家在年輕時也曾為自己的未來擔憂。當時，蓋爾曼即將從耶魯大學畢業，準備進入研究生院深造。蓋爾曼對學校的品牌十分在意，他認為自己必須在常春藤盟校繼續攻讀博士學位。遺憾的是，普林斯頓大學的研究生院沒有錄取蓋爾曼，雖然哈佛大學錄取了他，卻遲遲不肯給他發獎學金或助學金。當時，蓋爾曼最好的選擇就是去麻省理工學院攻讀博士學位，他為此感到極度沮喪，因為在蓋爾曼的心目中，麻省理工學院只不過是一所臟兮兮的技術類學院，根本不符合他高貴的品位。最后，蓋爾曼還是接受了麻省理工學院的錄取通知，去那里繼續完成學業。多年以后，當談起自己當年的選擇，蓋爾曼聲稱，當時自己甚至考慮過自殺。他表示，之所以放棄了自殺的念頭，是因為他意識到去麻省理工學院讀書和自殺兩件事是不服從交換律的：去麻省理工學院讀書并不妨礙他日后自殺，但如果自殺了就不能再去麻省理工學院讀書了。既然日后如有需要時仍可以選擇自殺，不妨先去麻省理工學院讀書。

穆雷·蓋爾曼

對于不可交換律的重要性，蓋爾曼是十分敏感的。我相信，作為一名量子物理學家，蓋爾曼在日后的學習和工作中一定對不可交換律有著更為深刻的理解：很多時候，自然界就是不服從交換律的。而且，這絕對是一件好事。正是因為有了不可交換律，世界才能是我們今天看到的樣子。如果任何事物都服從交換律，物質就不可能是固態的，原子也會自動毀滅。

在量子力學發展的初期階段，維爾納·海森堡和保羅·狄拉克發現了一條和我們平常的直覺認識極不相符的重要定律。如果我們用p表示一個粒子的動量，用q表示這個粒子的位置，那么，出乎人類意料的是，在自然界中，p×q≠q×p。這條定律就是著名的海森堡測不準原理。如果自然界沒有這種奇妙的不可交換律，原子就會毀滅，萬事萬物，包括我們人類也都不可能存在。

對于我們再熟悉不過的乘法交換律，這位博學的大數學家給出了非常獨特的角度供我們思考。

但是對于一些并不是每個人都非常熟悉的知識，作者的解釋也是非常通俗易懂且有趣的，下面引用一段關于微積分的文字。（這里先假設閱讀這篇文章的你是一名普通的沒有學過微積分的中學生吧。）

（第4部分第18章 積分譜成的優雅數學變奏曲）在數學的歷史上，積分最早產生于幾何學領域，發明積分是為了計算曲線圍成的面積。在第16章中我們提到過，圓可以像比薩一樣被切成很多小塊。在極限的情況下，一個圓可以被等分成無限多個小塊，每一塊的面積無限小。這些小塊可以被巧妙地拼成一個長方形，而且長方形的面積非常容易計算。通過這樣的方法，我們求出了圓的面積。這是積分的一種典型的用法：把一個復雜的東西進行無數次分割，最終使其容易加總。

除了這種二維的切割法，阿基米德還使用過這種方法的三維升級版，他以此來計算各種實心幾何體的體積（在阿基米德之前，另一位希臘數學家歐克多索在公元前400年左右就做過類似的事情了）。阿基米德的方法是這樣的：把實心幾何體想象成是一堆盤子、一摞華夫餅，或者是一根切成很多薄片的香腸。因為幾何體是不規則的，每一片香腸的大小不盡相同，通過計算這些大小不一的薄片的體積，再把它們巧妙地加總起來，不規則幾何體的體積就計算出來了。

……

在微積分和微積分基本定理問世之前，人們只能分析和處理最簡單的變化問題。當一個物體發生穩定的變化，也就是變化速率為常數時，代數就能很好地解決問題?！熬嚯x等于速度乘以時間”，就是變化速率為常數的例子。比如說，一輛車以每小時60英里的速度勻速行駛，那么顯然這輛車1小時的時間能行駛60英里，2個小時的時間能行駛120英里，以此類推。

……

從這個角度來說，微積分是在用一種多功能切菜機般的態度來看待我們的宇宙。牛頓以及后來的數學家們發現，自然的本質就是，萬物都是一小塊一小塊拼湊出來的。過去300年來發現的所有物理定律幾乎都符合這個性質：不管是粒子的運動、熱和電的傳導，還是空氣或水的流動，都可以看作一小塊一小塊的。每一小塊時間或空間里的情況除了受到整體的控制之外，還受到相鄰小塊情況的影響。

現在的你也許并不需要知道微積分中的種種運算法則，但是你想必也在某些特定的時候有過這樣的苦惱：你的高中物理老師在講課的途中突然插入一句“這個問題的具體證明要用到微積分，以后再說吧”“這道題下面的步驟用積分方便多了，會的同學可以研究一下”，然后對微積分一無所知的你就會一頭霧水，不知所措。但那僅僅是在閱讀這本書之前的你的苦惱，閱讀之后，你對微積分會有大概的形象上的認知，雖然不知道具體操作步驟，但也算是知道具體的方向了。（要知道，高中物理用得上微積分的地方可不少。）對于學過微積分的同學來說，讀這本書“變化”這一部分也是非常有意義的，可以令你免于局限在種種運算法則之中，好好體會微積分的美吧。