一類非線性偏微分方程的數(shù)值求解

李穎

【摘 要】 采用有限差分法求解一類特殊的非線性拋物型偏微分方程。非線性微分方程通常采用隱式方法求解，對微分方程進行簡化后可以進行顯示求解。當非線性方程含有的冪次較高時，依然可以給出較為精確的結(jié)果。最后，給出了幾種特殊情形的結(jié)果，結(jié)果表明程序在不同參數(shù)下依然有效。

【關鍵詞】 非線性偏微分方程；有限差分法；數(shù)值解

【中圖分類號】 G64.23 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2017）13-0-02

引言：

偏微分方程可以用來描述真實世界的實際問題。簡單的拋物型偏微分方程即熱傳導方程有效地表征了物體內(nèi)溫度隨著時間的演化過程與溫度分布。對于具有簡單邊界條件的偏微分方程，解析解可以通過分離變量法或拉普拉斯變化得到[1]。由于問題本身的復雜性，非線性偏微分方程目前主要采用數(shù)值方法求解且沒有統(tǒng)一的求解方法。因此，針對非線性微分方程的特點選取合理的求解方法是十分重要的。有限差分法是求解偏微分方程普遍采用的數(shù)值方法之一。基于有限差分法，目前已有很多學者針對偏微分方程的數(shù)值求解展開了相關研究[2-4]，如：二維波動方程的差分方法[5]，以及有限差分法在求解一類非線性微分方程時的穩(wěn)定性問題[6]。

1 一類非線性偏微分方程的化簡

驗證的例子中選取冪指數(shù)。當冪指數(shù)增大時，方程的非線性會增強，因此選取的時間步長也應相應的減小。需要指出的是，對于這類特殊的非線性微分方程，冪指數(shù)應該選取偶數(shù)，當選擇奇數(shù)時計算會出現(xiàn)不收斂。為簡化計算，和分別取為-1和1。數(shù)值計算中將整個區(qū)間劃分為100個網(wǎng)格，時間步長為且函數(shù)取為1。

2 數(shù)值結(jié)果

圖1給出函數(shù)值隨值的變化規(guī)律，其中。從圖1中可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)值在處有較為明顯的轉(zhuǎn)折。即使當值取值為51時，程序依然能夠很好的收斂。

3 結(jié)束語

本文針對一類特殊的非線性拋物型偏微分方程，對方程簡化后利用有限差分法對微分方程進行了數(shù)值求解。數(shù)值結(jié)果表明對于該類特殊的非線性微分方程，普通的顯示方法依然可以得到較高的精度。最后給出了幾種不同的條件下的數(shù)值結(jié)果驗證了程序的通用性。本文的方法對求解類似非線性偏微分方程有一定的借鑒意義。

參考文獻：

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[5]任軍號，解丹蕊.二維波動方程的一種高精度緊致差分方法[J].計算機應用研究，2012，29（6）：2112-2113.

[6]徐琛梅.一類非線性偏微分方程差分格式的穩(wěn)定性分析[J].江西科學，2008，26（2）：245-247.