一道希臘阿基米德競賽不等式試題的加強推廣

福建省福清第三中學 (350315) 何 燈

一道希臘阿基米德競賽不等式試題的加強推廣

福建省福清第三中學 (350315)
何 燈

這是2017年希臘阿基米德數學競賽試題中的一道,本文擬給出上述不等式的一個加強推廣.

結論 設a,b,c>0,0≤λ≤3,則有

注意到3∑a4+3∑a2b2-6∑a3b

=3a2∑(a2-2ab+b2),(2)

24∑a2b2-12∑a3b-12∑ab3

=-12ab∑(a2-2ab+b2),(3)

27∑b4+27∑a2b2-54∑ab3

=27b2∑(a2-2ab+b2),(4)

2∑a2b2-2abc∑a=∑b2c2+∑c2a2-2abc∑c=c2∑(a2-2ab+b2),(5)

將式(2)-(5)左右兩邊分別相加,可得30∑a4+56∑a2b2-18∑a3b-66∑ab3-2abc∑a=(3a2-12ab+27b2+c2)∑(a-b)2,由基本不等式得