幾例易錯的數形結合題

山東省寧陽一中 (271400) 朱存東

幾例易錯的數形結合題

山東省寧陽一中 (271400) 朱存東

數形結合作為一種數學思想方法，其應用大致可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數解形”；或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系，即“以形助數”．有時候，我們在借助形來解決數的問題的時候，若圖形畫得不夠準確，這不但不會幫助解題，反而會弄巧成拙，事與愿違.下面列舉幾例易錯的數形結合題目，供參考.

例1 函數y=x2的圖像與y=2x的圖像的交點有 個.

錯解：畫出y=x2的圖像與y=2x的圖像如圖1，可知有兩個交點.

圖1 圖2

正解：因為x>1指數型函數的增長速度比冪函數的增長速度快，所以，當自變量x比較大時，y=2x的圖像要在y=x2的圖像的上方.由圖像可知，x<0時，y=2x的圖像與y=x2的圖像必有一交點，x>0時，設f(x)=x2-2x，因為f(1)-1-2=-1<0,f(3)=9-8=1>0,f(5)=16-25=-9<0，所以存在零點x1∈(1,3),x2∈(3,5)，如圖2，經計算知，兩零點分別為2，4，即交點為(2,4)(4,16).

故兩函數共有3個交點.

例2 求正弦曲線y=sinx的圖像與直線y=x的交點個數.

錯解：畫出y=sinx與y=x的圖像如圖3，可知y=sinx的圖像與y=x的圖像有三個交點.

圖3 圖4

例3 方程ex=x+1解的個數有 個.

錯解：方程ex=x+1解的個數，即求y=ex圖像與y=x+1圖像交點的個數，畫出y=ex的圖像與y=x+1的圖像如圖5，顯然有兩個交點.

正解：方程ex=x+1解的個數即求y=ex圖像與y=x+1圖像交點的個數，因為兩個圖像均經過點(0,1)，不妨先求一下經過y=ex圖像上一點(0,1)處的切線.

圖5 圖6

圖7 圖8