重視導(dǎo)數(shù)題的審題減少思維定勢

江蘇省啟東市匯龍中學(xué) (226200) 殷春華

重視導(dǎo)數(shù)題的審題減少思維定勢

江蘇省啟東市匯龍中學(xué) (226200)
殷春華

導(dǎo)數(shù)是高考的必考內(nèi)容之一，經(jīng)過高三幾輪復(fù)習(xí)，教師與學(xué)生都非常重視.很多學(xué)生慢慢形成思維定式，因而失去對導(dǎo)數(shù)題應(yīng)有的思考.拿到函數(shù)題，學(xué)生就會一味的求導(dǎo)，有時反而失去簡單的思路.下面僅從兩個函數(shù)問題著手，分析審題、注重轉(zhuǎn)化，簡化解題.希望能讓遇到導(dǎo)數(shù)題就求導(dǎo)的學(xué)生，有所感悟.

例1 已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-x+1.

(1)若xf′(x)≤x2+ax+1對任意x∈(0,+∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)求證：(x-1)f(x)≥0.

此處，解得函數(shù)y=lnx-x的最大值為-1.由最大值的定義可知lnx-x≤-1，即lnx-x+1≤0.

如果直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)不易處理，應(yīng)該分析題意，認(rèn)真審題，換位思考，要證明不等式(x-1)f(x)≥0，只需證明x-1與f(x)的符號相同.由函數(shù)f(x)的定義域可知x>0.所以，只需對x與1進(jìn)行討論.

法一：①當(dāng)0

②當(dāng)x=1時，顯然(x-1)f(x)=0；

綜上，不等式(x-1)f(x)≥0成立.

法二：①當(dāng)0

②當(dāng)x=1時，顯然(x-1)f(x)=0；

綜上,不等式(x-1)f(x)≥0成立.

評析：法二利用(1)中解題過程中的結(jié)論，避開二次求導(dǎo)，使得問題容易解決.因此，在具體解題時，不能固于定式，要認(rèn)真觀察，有時題目中的(1)(2)是相互聯(lián)系的，因而有時用(1)的結(jié)論解也許思路更簡單.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若對?x>0，均有ax(2-lnx)≤1，求實數(shù)a的取值范圍.

(2)是一個恒成立問題，首先想到的是求函數(shù)g(x)=ax(2-lnx)在區(qū)間(0,+∞)的最大值.但求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，無法順利求出函數(shù)g(x)的最大值，因而解題受阻.

法二：利用本題第一小題的結(jié)論解題