用導數方法解決函數的對稱性問題

湖北省宜都市一中 (443300) 裴金玲

用導數方法解決函數的對稱性問題

湖北省宜都市一中 (443300)
裴金玲

函數的對稱性是函數的一個重要性質.本文用導數方法探討可導函數的對稱性.

先看下面的兩個結論:

(1)若函數f(x)關于(m,n)中心對稱,則f′(x)關于x=m軸對稱.

(2)若函數f(x)關于x=m軸對稱,則f′(x)關于(m,0)中心對稱.

證明:(1)若函數f(x)關于(m,n)中心對稱,則f(2m-x)+f(x)=2n,兩邊對x求導,得-f′(2m-x)+f′(x)=0,即f′(2m-x)=f′(x).說明f′(x)關于x=m軸對稱.

(2)若函數f(x)關于x=m對稱,則f(2m-x)=f(x),兩邊對x求導,得-f′(2m-x)=f′(x),即f′(2m-x)+f′(x)=0.故f′(x)關于(m,0)中心對稱.

特例:(1)奇函數的導函數為偶函數; (2)偶函數的導函數為奇函數.

下面我們用以上方法解決一些對稱性問題.

例1 探討函數f(x)=Asin(ωx+φ),A≠0,ω≠0,x∈R的奇偶性.

故可得兩個重要結論.

(2)定義域為R的函數y=f(x)為奇函數時f(0)=0,為偶函數時f′(0)=0.

例2 若函數f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關于直線x=-2對稱，求f(x)的最大值.

首先:若不用導數,本題可以這樣做.

可以看出,本解法很好的利用了已知條件f(1)=f(-1)=0.但若題目變為f(x)=(1+x2)(x2+ax+b),再用上述方法,就不好做了.請看導數方法.

兩種方法相比,方法一要簡單,但方法二可以解決更一般性的問題.

眾所周知,三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)圖像必為中心對稱圖形,且對稱中心為