從一道上海高考題的改編到課堂教學(xué)

江蘇省東臺(tái)市安豐中學(xué) (224221) 仇愛華

從一道上海高考題的改編到課堂教學(xué)

江蘇省東臺(tái)市安豐中學(xué) (224221)
仇愛華

1.試題改編

2015年上海高考第21題：已知橢圓x2+2y2=1，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線l1和l2分別與橢圓交于點(diǎn)A,B和C,D，記得到的平行四邊形ACBD的面積為S.

(1)設(shè)A(x1,y1)，C(x2,y2)，用A,C的坐標(biāo)表示點(diǎn)C到直線l1的距離，并證明S=2|x1y2-x2y1|；

這道高考題背景深刻，它的思路不偏不怪，符合解析幾何中方法性及運(yùn)算能力的考查.筆者認(rèn)為，唯一遺憾的是試題設(shè)計(jì)的指向性強(qiáng)，限制了考生的思路，若換一種設(shè)計(jì)方式，讓考生自行選擇思路，效果會(huì)更好.為此，筆者對(duì)該考題進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母木?

改編題：已知橢圓x2+2y2=1，斜率分別為k1,k2的兩條直線l1和l2都過(guò)原點(diǎn)，且分別交橢圓于A,B和C,D，記得到的平行四邊形ACBD的面積為S.

(1)設(shè)A(x1,y1)，C(x2,y2)，求證：S=2|x1y2-x2y1|；

2.課堂教學(xué)

筆者把這道改編題用作高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)的范例，由于方法靈活、可探究性強(qiáng)，課堂氣氛活躍，自感取得了滿意的教學(xué)效果.現(xiàn)把相關(guān)教學(xué)內(nèi)容整理如下，供讀者參考、研討.

2.1 面積公式的選用

改編題的第(1)小題，學(xué)生能想到原高考題方法：

經(jīng)教師點(diǎn)撥后，學(xué)生都能用下列方法完成：

法二:∵A(x1,y1)，C(x2,y2)，∴OA=

雖然方法二在計(jì)算sin∠AOC時(shí)有點(diǎn)繁，但它是解決本小題合理、有效的通法，也需要學(xué)生掌握.

2.2 運(yùn)算方向的選擇

第(2)小題，學(xué)生都知道用上小題的結(jié)論S=

2|x1y2-x2y1|，但最初的思考有差異，有學(xué)生利用斜率k1,k2表示A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入S=

現(xiàn)如今，學(xué)校為了讓“減負(fù)”出成效，往往與教師簽訂“減負(fù)”工作責(zé)任書，把數(shù)學(xué)課堂作業(yè)能否當(dāng)堂完成列入考核內(nèi)容。很多教師迫于學(xué)校考核的壓力，把當(dāng)堂完成課堂作業(yè)簡(jiǎn)單的等同于完成教學(xué)任務(wù)。

2|x1y2-x2y1|.

完成改編題的解答后，筆者提出探究問(wèn)題：條件不變，設(shè)k1k2=m≠0，試問(wèn)當(dāng)m為何值時(shí)，平行四邊形ACBD的面積S最大？絕大多數(shù)學(xué)生想到運(yùn)用方法一完成，少數(shù)學(xué)生先用方法二，不奏效，很快轉(zhuǎn)而用方法一.

解:由k1k2=m≠0，不妨設(shè)k1>0，則k2與m同號(hào).

該探究問(wèn)題揭示了高考題的背景，挖掘其本質(zhì)，把課堂推向高潮，增強(qiáng)了學(xué)生研究問(wèn)題的能力，是本節(jié)課的亮點(diǎn).

3.兩點(diǎn)思考

3.1 增加發(fā)散性試題的比例

發(fā)散性思維，又稱擴(kuò)散性思維、輻射性思維、求異性思維.它是一種從不同的方向、途徑和角度去設(shè)想，探求多種答案，最終使問(wèn)題獲得圓滿解決的思維方法.它需要發(fā)揮人的想象力，突破原有的知識(shí)圈，從一點(diǎn)向四面八方想開去，并通過(guò)知識(shí)、觀點(diǎn)的重新組合，尋求更多、更新的設(shè)想、答案和方法.

一般來(lái)講，試題的設(shè)計(jì)應(yīng)讓考生有自由發(fā)揮的空間，考查學(xué)生的發(fā)散思維能力，鼓勵(lì)考生想出優(yōu)秀的解法解題，這樣的試題用于課堂教學(xué)也能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性.上海市高考數(shù)學(xué)試卷開放性很強(qiáng)，是全國(guó)高考命題的典范.當(dāng)然，本文中的這道高考題，也許是命題者有其他想法，筆者不再妄議.

3.2 加強(qiáng)探究性教學(xué)

現(xiàn)在的高中生由于高考升學(xué)的壓力，他們往往都苦于題海戰(zhàn)，是在壓迫狀態(tài)的學(xué)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)毫無(wú)興趣可言.作為教師，我們有義務(wù)、有必要開展數(shù)學(xué)活動(dòng)課，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，而不懼怕數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，真正調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，讓他們?cè)诨顒?dòng)中探究新問(wèn)題、解決新問(wèn)題，以提升他們數(shù)學(xué)的研究能力.那么我們?cè)鯓硬拍荛_展好一節(jié)探究性學(xué)習(xí)課呢？筆者認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面入手：

(1)首先要加強(qiáng)解題、研題能力.要充分研究高考題、自主招生試題等的解題方法，并有挖掘其內(nèi)涵與背景的能力，就像本文中，教師需要加強(qiáng)學(xué)習(xí)研究，才能提出“探究k1k2=m為何值時(shí)，平行四邊形ACBD的面積S為最大？”，這是硬功夫；

(2)其次要拓寬自身的數(shù)學(xué)知識(shí)視野.比如，我們可以通過(guò)學(xué)習(xí)教材中的閱讀材料、雜志上新穎的素材等拓寬自身視野，并尋找它們與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系，只有我們具備了豐富的知識(shí)視野，才能為學(xué)生選擇多角度、全方位的探究性活動(dòng)課；

(3)最后我們還要走到學(xué)生中去.尋找他們的困惑問(wèn)題、巧解(錯(cuò)解、多解)方法等以此作為研究，也能得到好的探究性素材.

總之，我們教師需要繼續(xù)學(xué)習(xí)，不僅要學(xué)習(xí)先進(jìn)的教育教學(xué)理念，而且要通過(guò)自己的學(xué)習(xí)鉆研或參加繼續(xù)教育培訓(xùn)來(lái)提高自身的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng).如此，只要我們做一個(gè)研究型的教師，就能為學(xué)生提供豐富多彩的研究性課堂.