重視課堂“三原則”提升學生數學思維

浙江海鹽元濟中學 (314300) 董燕勤 李躍仁

重視課堂“三原則”提升學生數學思維

浙江海鹽元濟中學 (314300)
董燕勤 李躍仁

隨著新一輪教育改革的深入，在提出“減必修，增選修”的同時，人們更加關注課堂教學，特別是課堂教學的效率，提高課堂的有效性已成為教師們關注的焦點，高效課堂已經成為我們的一種追求.

一方面，新課程改革正在如火如荼的開展，新的課堂模式，新的教法，新的概念如雨后春筍般冒出來，但是絕大多數的核心是“動”，彰顯學生學習的主動權.杜郎口中學“三三六”自主學習模式，包括課堂自主學習三特點，即主體式、大容量、快節奏；自主學習三大塊，即預習，展示，反饋；課堂展示六環節，即預習交流，明確目標，分工學習，展現提升，穿插鞏固，達標測評.其“10+35”、“0+45”的教學模式具有顯著特色，即學生課堂上自主參與，課堂上絕大部分時間留給學生，老師僅用極少時間實施“點撥”.但是另一方面，我們還必須清醒地看到，在課堂氛圍轟轟烈烈之后學生到底掌握了多少？關注了課堂教學的外在形式，思維作為數學的內在是否得到提升？

隨著課改的一步步深化，也越來越倒逼教師加強研究，自我充電，提升素養，我們開始認真研究學生的共同特點和個別差異，綜合考慮各班每個學生的智力與非智力因素，教學要從學生實際出發，教學要符合教育學心理學規律，即在關注確立學生的課堂主體地位的同時，更應該重視凸顯數學應有的數學思維的核心地位！

從學生的 認知發展，要經歷多種水平，多種階段.所以教師的教學設計要有直觀性、啟發性、可接受性，從而逐步提升數學思維.

一、思維的起點：直觀性感知，理解最基本的原理、概念

1.1 教學直觀性的概念

直觀性原則，是指在教學中通過學生觀察所學知識，或教師語言的形象描述，引導學生形成所學知識、過程的清晰表象，豐富他們的感性知識，從而使他們能夠正確理解書本知識，發展認知能力.

1.2 教學直觀性的重要性

教學直觀性反映了學生的認知規律，即通過感性、形象而具體知識的學習，提高學生對課程學習的興趣和積極性，減少學習抽象概念的困難，并通過展示事物的內部結構、相互關系和發展過程，幫助學生形成科學的概念，從而更好地深化認識和運用知識.俄國教育家烏申斯基指出：“邏輯不是別的東西，而是自然界的事物和現象的聯系在我們頭腦中的反映”.

1.3 教學直觀性的應用

雖然中學生的認知發展水平已由具體運算進入到抽象運算階段，但是即使他們在整體上認知水平已經達到了抽象運算的水平，在每個新數學概念的學習過程中仍然要經歷從具體到抽象的轉化，他們在學習新的數學概念時仍采用具體或直觀的方式去探索新概念.所以教師在備課時需要在直觀性的駕馭上做些科學的合情創新，向學生提供豐富的直觀背景材料，設計合理的模型、動畫，從具體到抽象，從特殊到一般為抽象思維合理鋪墊.平時的授課中，可以從以下4方面讓學生直觀性的感知知識.

1.3.1 結合數學史，呈現概念

講授新課時，結合數學內容適當引入一些數學史、數學家的故事，或者講一些生動的數學典故，往往能激發學生的學習興趣.

比如，解析幾何巧妙地將幾何與代數結合在一起，是數形結合很好的一個范例.筆者在教學中向學生介紹了1637年解析幾何的奠基人笛卡兒在《幾何學》中引入了坐標，并用代數方法、坐標方法更換了古代方法，解決幾何作圖問題.從而讓學生認識到解析幾何的精髓是：引進坐標，用代數方法表示曲線，然后通過對方程的討論得出曲線的性質.它用運動的觀點把曲線看成為點的運動軌跡，建立了點與實數對的對應關系，把“形”(包括點、線、面)和“數”(包括數、式、方程及函數)兩個對立的對象統一起來，建立了曲線和方程的對應關系.它以坐標的研究為基礎、以代數方程研究為前提、以圓錐曲線的定性研究為依據，揭示各知識內在的辯證關系.在圓錐曲線的后續教學中，筆者始終抓住這條主線，反復強化“用代數方法研究幾何問題”的思想，這樣學生在學習教材的同時，用聯系、變化、發展的觀念思考問題的習慣也得到了培養.

新概念是為了解決數學中某個矛盾，某種問題或某種需要才引入的.為此引入新概念時，必須向學生講清引入的目的、原因，要使學生感到是一件很自然、必須做的事情.

1.3.2 借助模型，感知概念

鄭毓信先生指出，在更進一步的數學研究中，數學概念只能依靠定義去演繹推理，而不能借助于直觀，但就初等數學而言，數學概念反映的是數學對象仍具有一定的直觀性，如果能把數學概念的空間形式直觀化，就會點擊學生認知，活躍學生形象思維，沖破學生思維定勢，重構學生認知體系.波利亞說過，對數學特征的直觀化表征往往能根植進學生的心靈，因此空間形式直觀化能有效地實施概念教學，使學生的概念接受過程變得更淺顯，更突出.

“形”是數學研究的對象之一.例如通過觀察一個函數的圖形可以得出：函數的單調性(增減性)，奇偶性，周期性等概念.通過觀察長方體模型來代表空間中的直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系可以得出異面直線；直線與平面平行、相交、在平面內；平面與平面平行、相交的概念等等.許多數學概念都是從實物中抽象出來的.

1.3.3 適時開展數學實驗活動，獲得概念

這是教育本身的典型策略，數學概念教學中的理論聯系實際，是指“探究性”學習中學生自主活動，親身體驗，通過實驗獲得數學概念，在親自動手、主動參與的過程中培養自己的認知能力，從而獲得對概念的理解和掌握.

例如學習“橢圓及其標準方程”時，就橢圓的概念實行實驗活動，很多同學都見過木匠師傅畫橢圓時采用的方法——固定繩的兩端，用黑筆繞繩勾勒.自己動手進行后，總結其內在規律并用數學語言去刻畫橢圓——到兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡，并且兩定點的距離小于定長.這樣，對橢圓的概念通過自己的親身體驗得以構建，從而更深刻地理解了橢圓的概念.

1.3.4 結合生活實際，引入概念

數學來源于生活，所以在日常教學中可以以生活實例作為引入，讓學生體會生活中的數學，體現數學思維的重要性.

例如，在學習數列的第一課時時的引例：某人得到一家公司的聘用，老板說，目前年薪為1萬元，這里有兩種方案供你選擇：第一種，每一年加1000元；第二種，每半年加300元.試問，如果你打算在該公司工作5年，究竟用那種方案得到收入多？

這是一個很好的等差數列的探究性問題，也是數學文化在生活中應用的具體體現.初看起來，一年加一千，總比半年加三百即一年加六百要好.其實，加薪后是不會減下來的，所以按兩種方案得到各時段的實際加薪數的數列，見下表(底薪1萬元未記,單位：元)

時段加薪數12345678910方案一10002000300040005000方案二3006009001200150018002100240027003000

由此看出，除了第一年，按方案一得1000元，多于方案二得600元外；第二年按方案一可得1000+2000=3000元，按方案二也可得300+600+900+1200=3000元；到第三年，情況為：

方案一：1000+2000+3000=6000元，

方案二：300+600+900+1200+1500+1800=6300元.

以后再算下去，方案二明顯占優勢.到第五年后總加薪數為：

方案一：1000+2000+3000+……+5000=15000,

方案二：300+600++900+……+3000=16500.

但是如果方案二是每半年加200元呢？那么每半年加薪多少會使得n年后方案二有利呢？

這一問題的變化還有很多，用這一問題作為數列的第一課時的引入，激起學生對數列的好奇心，對培養學生數學思維能力是很有益的，也使學生獲得社會生活經驗的積累.

二、思維難點的突破：啟發學生解決思維過程中的障礙

2.1 啟發性原則的概念

啟發性原則是指在教學中教師要承認學生是學習的主體，調動他們學習的主動性，引導他們獨立思考，積極探索，生動活潑地學習，自覺地掌握科學知識以提高分析問題和解決問題的能力.

2.2 啟發性原則的重要性

子曰：“不憤不啟，不悱不發，舉一隅不以三隅反，則不復也.”這句話的意思是：不到學生努力想弄明白但仍然想不透的程度不要去開導他；不到學生心里明白卻不能完善表達出來的程度不要去啟發他.陶行知先生說:“真正的教育必須培養出能思考會創造的人.發明千千萬，起點是一問.”這就要求教師更加注重培養學生的創造思維和問題意識，而實現這種教學的手段之一就是啟發式教學.如果我們用自己的教學來代替學生的主動學習，用自己的思考來代替學生的主動思考，課堂氣氛沉悶，學生失去興趣，久而久之，學生主動求知欲沒有了，創造的火花熄滅了，成了消極接受知識的容器.新課改要求我們實行啟發式教學，激發學生的創新意識，突出學生的主體地位.

2.3 啟發性原則的應用

蘇霍姆林斯基曾說過：“在心靈深處，總有一種把自己當作發現者、研究者、探索者的固有需要.這種需要在中小學生精神世界尤為重要.”所以教師應從“啟”字上下工夫，在啟迪引導學生興趣上動腦筋，創設質疑情境，激發學生求知欲和解決問題的強烈愿望.例如對正弦定理這節課的設計：

(1)引出概念，從特殊到一般

首先，給出直角三角形的情況.

圖1

師：如圖1，已知直角△ABC中，三邊長分別為a、b、c，∠C=90°，則根據初中所學知識可知哪些邊角關系？

師：請同學們觀察以上幾個等式，你能總結出哪些等量關系？

請學生自己列舉，肯定的同時適當提醒前面兩個式子有什么共同的特點？

生：等式右端分母都是c.

師：我們利用這三個等式，分別表示c，可以得到什么？

引導學生探究可知在直角三角形中，找到了邊與角之間構建的和諧等式：

(2)在教學中要注意發揮學生的原有認知

師：同學們不妨大膽猜想一下，這個等式在一般三角形中是否成立？

請同學們用所學過的知識，自己嘗試驗證.

首先將學生引入一定的問題情境——研究三角形的邊角關系，喚起學生已有的相關知識經驗，然后給出直角三角形中的正弦定理推導方案，這是個改造和重組已有知識經驗的過程，這種經驗背景能幫助學生把新知識組織和納入原有的認知結構中.學生很容易想到的方法是：

方法一：(作高法)在應用作高法推導的過程中學生往往會忽略了對“銳角三角形”和“鈍角三角形”的分情況討論，而只考慮到銳角三角形的情況.對此情況，應注意強調考慮問題的全面性.

至于鈍角三角形的情況，由學生自己補充完成證明.

方法二：(面積法)在學生產生感性的認識后，通過由直角三角形中推導的結論(邊與角之間的比例關系),引導學生在一般三角形中類比思維，在已有知識結構中尋求能夠得到邊角之間關系的內容，將已有知識變形、改造，最后得到一般三角形的定理推導方法.通過這樣教學設計,學生在原有認知結構基礎上,積極去發現，上升到一個新的認知結構.

(3)在教學中要注意挖掘學生的學習能力

教師在教學過程中，僅僅解決學生的疑惑還不夠，還要傳授新知識和技能，又要有意識地發展學生的思維能力.在推導結論時還可以用向量方法解決，由于向量是學生剛剛接觸到的知識，不容易接受，而且應用還不夠熟練，但是可以借此機會進一步鞏固，因此向量法學生并不容易想到，還需要教師做如下的引導：

師：以上兩種方法是比較傳統的利用三角形的知識解決正弦定理的推導方法.請思考我們所學的知識中還有什么內容涉及到三角形的邊角關系？

學生很容易想到向量.

師：現在我們學習了向量，我們能否用向量的方法推導出正弦定理呢？考慮：正弦定理中既有長度又有三角函數.在向量部分，什么量既有長度又有三角函數？

師：以銳角三角形為例，在△ABC中，三邊的向量關系如何？

師：所以要做數量積，就要找合適的向量相乘.找哪個向量與上式的左右兩邊相乘呢？

教師可從旁提醒觀察正弦定理的變形asinC=csinA,即左右要對稱，由此可推測所成向量和其中一個向量的數量積為零，學生易得到作AC邊上的高.剩下的證明可由學生獨立完成！

這個新穎而且同樣簡單的推導方法往往引起學生的好奇心,從而增強學習動機.對于鈍角三角形的情況，留給同學課下證明.學生有了明確的學習目的和濃厚的學習興趣，求知欲旺盛，反映在學習態度上則表現為積極和主動.

總之，在數學教學中，教師的作用應盡力體現在思維情境的創設、啟發性問題的提出、學生創造性思維興奮點的捕捉等方面，通過導趣、導思、導法，使學生多動、多猜想、多發現、多“創造”.教師只有不斷擴充自己的知識，提高自己的業務水平，才能在教學中貫徹落實啟發性教學原則.

當然要使數學課程真正具有啟發性，需要克服兩種偏向：第一，內容過于簡單，缺乏思考余地.沒有挑戰性，不能激發學生思維，甚至不能滿足學生學習愿望.第二，內容過于復雜、抽象.超過了學生數學認知結構中“最近發展區”的水平，學生將會由于不能理解它，產生畏懼心理，最后厭惡學習數學.

三、思維程序的組織：讓學生在可接受性的同化中提升思維水平

3.1 可接受性原則的概念

可接受性是指教學的內容、方法、份量和進度要適合學生的身心發展，是他們能夠接受的，但又要有一定的難度，需要他們經過努力才能掌握，以促進學生的身心發展.

3.2 可接受性原則的重要性

在高中數學的教學中要注意教師傳授知識的有效性原則和學生接受知識的可接受性原則.新課改對老師提出了更高的要求，在減少必修的同時就得保證課堂的有效性，而有效的考核即為學生是否接受.教學內容、方法都要適合學生的認知發展水平，獲得新的數學知識的過程，主要依賴于數學認知結構中原有的適當概念，通過新舊知識的相互作用，使新舊意義同化，從而形成更為高度同化的數學認知結構的過程，它包括輸入、同化、操作三個階段.因此，作為數學課程內容要同學生已有的數學基礎有密切聯系，其抽象性與概括性不能過低或過高，要處于同級發展水平.這樣才能使數學課程內容被學生理解，被他們接受，才能產生新舊知識有意義的同化作用，改造和分化出新的數學認知結構.

3.3 可接受性原則的應用

在教學過程中，只有通過設置梯度合適的“階梯”,溝通新舊知識的聯系,把問題解決建立在學生“最近發展區”的基礎上,一個一個臺階地過渡、遞進,才能挖掘出學生的最大潛力,才能實現問題解決能力的飛躍.

如在“基本不等式應用”的教學中，有這樣一道例題.

此題較為簡單，直接利用均值不等式求解學生基本都會．若就此擱筆淺嘗則止，沒有真正體現此題的價值，沒有挖掘其深層次的內涵，故不妨就此題的結構特點、解題規律和方法的典型性與可行性等方面進行變式、探討，從而達到橫向拓寬和縱向延伸之境界.

變式2 求下列函數的最值：

變式3 求下列函數的最值：

(以上利用基本不等式求解不可行，因為等號取不到，只能改為利用函數的單調性求解，即利用導數求出函數的單調增(減)區間.(解略))

變式4 由此及彼，若將結構式中的“+”改為“-”，解題方法又如何？能否推廣到一般的情形？

通過對本題解題過程的變式反思，引導學生總結出如下解題規律：

圖2

(1)當ab>0時，首選均值不等式求最值，若等號取不到則改為利用函數單調性求解；(如a>0,b>0其圖像如圖2所示)

(2)當ab<0時,(a>0,b<0如圖3；a<0,b>0如圖4所示)

圖3 圖4

顯然此時基本不等式不適用，可利用函數單調性求解.

通過這樣的教學，讓學生真正掌握基本不等式在運用過程中不能忽視“各項必須為正數”這一條件，能認識到哪些形式可以轉化為基本不等式解決，“淺入深出”，恰當設計問題，因勢利導地啟發.

教學有法、教無定法、貴在得法.筆者認為，作為數學教師，不管采用何種教法，必須從學生實際出發，教學要符合教育學心理學規律，把握課堂三原則，重視確立數學課堂中思維的核心地位，從而才能提高課堂實效.

[1]陳平.數學課應重視思維的核心地位[J].中學數學,2014,4.

[2]蔡小雄.啟迪思維是數學習題教學的首要[J].中學數學,2013,8.

[3]張奠宙.數學教育研究導引[M].南京：江蘇教育出版社,1998.