小學數學中的符號化思想

張生蘭

2011年版義務教育數學課程標準提出的核心概念之二是符號意識，符號對于數學來說是特有的，它既是數學的語言，也是數學的工具，更是數學的方法。符號意識是學習者在感知、認識、運用數學符號方面所做出的一種主動性反應，符號意識滲透著符號化的數學思想方法。本文對小學階段的符號化思想做一些介紹。

一、符號化思想的概念

數學是研究數量關系和空間形式的科學，數學語言是一種科學的語言，它使人表達問題時條理清楚、準確、簡潔、結構分明。數學符號是數學的語言，數學世界是一個符號化的世界，數學作為人們進行表示、計算、推理和解決問題的工具，數學符號起到了非常重要的作用；因為數學有了符號，才使得數學具有簡明、抽象、清晰、準確等特點，同時也促進了數學的普及和發展；國際通用的數學符號的使用，使數學成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。

二、如何理解符號化思想

數學課程標準比較重視培養學生的符號意識，并提出了幾點要求。那么，在小學階段，如何理解這一重要思想呢？下面結合案例做簡要解析。

第一，能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律，并用符號表示。這是一個從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的過程。如通過幾組具體的兩個數相加，交換加數的位置和不變，歸納出加法交換律，并用符號表示：a+b=b+a。再如在長方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長方形的面積公式，并用符號表示：S=ab。這是一個符號化的過程，同時也是一個模型化的過程。

第二，理解符號所代表的數量關系和變化規律。這是一個從一般到特殊、從理論到實踐的過程。包括用關系式、表格和圖象等表示情境中數量間的關系。如假設一個正方形的邊長是a，那么4a就表示該正方形的周長，a2表示該正方形的面積。這同樣是一個符號化的過程，同時也是一個解釋和應用模型的過程。

第三，會進行符號間的轉換。數量間的關系一旦確定，便可以用數學符號表示出來，但數學符號不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛汽車的行駛時速為定值80千米，那么該輛汽車行駛的路程和時間成正比，它們之間的數量關系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，還可以用圖象表示。即這些符號是可以相互轉換的。

第四，能選擇適當的程序和方法解決用符號所表示的問題。這是指完成符號化后的下一步工作，就是進行數學的運算和推理。能夠進行正確的運算和推理是非常重要的數學基本功，也是非常重要的數學能力。

三、符號化思想的具體應用

數學的發展雖然經歷了幾千年，但是數學符號的規范和統一卻經歷了比較慢長的過程。如我們現在通用的算術中的十進制計數符號數字0～9于公元8世紀在印度產生，經過了幾百年才在全世界通用，從通用至今也不過幾百年。代數在早期主要是以文字為主的演算，直到16、17世紀韋達、笛卡爾和萊布尼茲等數學家逐步引進和完善了代數的符號體系。

1、數與代數方面

阿拉伯數字：0～9；百分號%；千分號‰；用數軸表示數。

數的運算符號： +、-、×、÷、（ ） 、﹝﹞、﹛﹜、2（平方）、3（立方）。

數的大小關系：=、≈、>、<、≥、≤、≠。

運算定律：加法交換律a+b=b+a；加法結合律a+b+c=a+（b+c）；乘法交換律ab=ba；

乘法結合律 （ab）c=a（bc）；乘法分配律a（b+c）=ab+ac。

方程：ax+b=c。

數量關系：時間、速度和路程s=vt；數量、單價和總價a=np；正比例關系y/x=k；

反比例關系xy=k。

用表格表示數量間的關系；用圖象表示數量間的關系。

2、空間與圖形方面

用字母表示計量單位：長度單位：km、m、dm、cm、mm；面積單位：km2、m2、dm2、cm2、mm2；質量單位：t、kg、g。

用符號表示圖形、用字母表示點：三角形ABC，線段AB，直線CD，直線 L。

用符號表示角：∠1、∠2、∠3、∠4、∠ABC、∠A。

兩線段平行：AB∥CD；

兩線段垂直：AB⊥CD。

用字母表示公式：三角形面積S=1/2ab；平行四邊形面積S=ah；梯形面積S=1/2（a+b）h；圓周長C=2πr；圓面積S=πr2；長方體體積v=abc；正方體體積v=a^3；圓柱體積v=sh；圓錐體積v=1/3sh

3、統計與概率方面

統計圖和統計表：用統計圖表描述和分析各種信息。

可能性：用分數表示可能性的大小。

四、符號化思想的教學。

符號化思想作為數學最基本的思想之一，數學課程標準把培養學生的符號意識作為必學的內容，并提出了具體要求，足以證明它的重要性在日常教學中要創設合適的情境，引導學生在探索中歸納和理解數學模型，并進行解釋和應用。學生只有理解和掌握了數學符號的內涵和思想，才有可能利用它們進行正確的運算、推理和解決問題。

數學符號是人們在研究現實世界的數量關系和空間形式的過程中產生的，它來源于生活，但并不是生活中真實的物質存在，而是一種抽象概括。一個數學符號一旦產生并被廣泛應用，它就具有明確的含義，就能夠進行精確的數學運算和推理證明，因而它具有精確性。數學能夠幫助人們完成大量的運算和推理證明，但如果沒有簡捷的思想和符號的參與，它的工作量及難度也是很大的，讓人望而生畏。一旦簡捷的符號參與了運算和推理證明，數學的簡捷性就體現出來了。如歐洲人12世紀以前基本上用羅馬數字進行計數和運算，由于這種計數法不是十進制的，大數的四則運算非常復雜，嚴重阻礙了數學的發展和普及。直到12世紀印度數字及十進制計數法傳入歐洲，才使得算術有了較快發展和普及。數學符號的發展也經歷了從各自獨立到逐步規范、統一和國際化的過程，最明顯的就是早期的數字符號從各自獨立的埃及數字、巴比倫數字、中國數字、印度數字和羅馬數字到統一的阿拉伯數字。數學符號經歷了從發明到應用再到統一的逐步完善的過程，并促進了數學的發展；反之，數學的發展也促進了符號的發展。因而，數學和符號是相互促進發展的，而且這種發展可能是一個慢長的過程。因而，符號意識的培養也應貫穿于數學學習的整個過程中，并需要一定的訓練才能達到比較熟練的程度。

參考文獻：

[1]《2011版小學課程標準解讀》

[2]人教版一至六年級《小學數學教師參考用書》endprint