大音希聲掃陰翳，撥開云霧見青天

林文斌

352100 寧德市高級中學 福建寧德

【摘 要】本文主要從宏觀上說明全國卷高考橢圓問題的有效復習及備考的解題策略。

【關鍵詞】高中數學；橢圓；解題；策略

歷屆高考數學卷中，橢圓問題均做為必考題出現，在各種題型中均有考查，其中以解答題為重。有時以選填小題形式出現，這類題難度偏小；也有以解答題的大題形式出現，若為準壓軸題則該題的難度偏大，若與極坐標和參數方程結合，難度也相對較小。在高考復習中要引起我們的重視，下面探究此類問題的突破策略。

一、有關橢圓的基本知識回顧

（1）橢圓的基本定義：橢圓的第一定義，特別注意橢圓存在的條件，強調“2a>2c”。

（2）橢圓的方程和性質：方程有標準方程、一般方程、參數方程；性質包含圖形、頂點、對稱軸、對稱中心、焦點、焦距、離心率等。

從2011-2016這六年的高考情況來看，高頻考點有橢圓的定義、性質以及和其他曲線（直線、圓、雙曲線、拋物線）的位置關關系等。不管是一輪復習、二輪復習都要對有關基礎知識進行系統復習，引導學生在解題前認真審題、在解題中規范解答、在解題后反思，最后由教師斷后，做好通解通法的點撥和總結。

二、做好考情、學情分析

筆者所在學校是一所省二級達標高中，招生時先由城區一級達標學校砍頭（優質生源）后，再被同類學校分去相當中等生，學生基礎差，學習數學的抽象思維能力有限，計算能力差，對知識的把握程度不足。解幾的解題又必須結合以上多項能力的問題。我們從引導學生在解幾解題技巧上進行歸納，在準壓軸題上只能讓他們用常用的思路求出第一小題，第二小題基本是直線與橢圓問題用六步法套路解題，讓大多同學能拿個基本分。如何以橢圓問題為突破口，讓學生在高考中盡量在解析幾何板塊上多得分，讓學生的數學核心素質有所提高是我們的重要目標。

三、橢圓常見題型的解題方法總結

題型1.考察橢圓的定義及應用：

橢圓（雙曲線、拋物線）的定義是解析幾何的核心內容，以橢圓的定義為載體可以與函數、不等式、平面向量等知識交匯，能充分考查橢圓的特點，考查數形結合、轉化化歸的思想。此類問題的突破策略是遇到與焦點有關時優先考慮用定義解之。求曲線方程最常用的方法就是待定系數法，具體的解題步驟是“先定形（哪種曲線、“x型”還是“y型”），再定式，最后定量（寫出最后的解析式）”。

題型2.橢圓的性質及應用：

橢圓的離心率問題是高考的高頻考點，離心率問題綜合性強，靈活多變，能較好地反映學生對知識的熟練掌握和靈活運用的能力，能有效地反映學生對數學思想和方法的掌握程度。橢圓的性質主要是圍繞橢圓中的“六點”（兩個焦點、四個頂點），“兩線一心”（兩條對稱軸、一個對稱中心），“兩形”（中心、焦點以及短軸端點構成的或橢圓上一點和兩焦點構成的三角形），“兩圍”（x的范圍，y的范圍），注意用圖形有平面幾何特征解題。

題型3.橢圓和直線以及其他二次曲線（圓、雙曲線、拋物線）的關系問題（包括：切線、弦長、定點、定直線、定值等）

解析幾何的本質是用代數的方法研究幾何問題，這蘊含了豐富的數學思想：函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想等，題型3是復習數學思想方法的好素材。橢圓的切線問題是高考中較為新穎的問題，結合韋達定理可以設而不求，有時還要恰當運用平面幾何知識對其進行求解。題型3涉及的最值問題與范圍問題是新課標全國卷的最熱點，在高考中經常出現，求解此類問題的一般思路是抓住函數關系，將目標量表示為一個或多個變量的函數，然后借助這個函數的探求使問題得以解決。

針對橢圓和直線的關系，我們向學生總結了此類問題的應試“六步法”，也適用于其它圓錐曲線與直線的關系問題?！傲椒ā卑ǎ旱谝徊皆O點（設而不求）、第二步設線（討論斜率是否存在）、第三步聯立直線和橢圓方程、第四步求判別式△>0（主要是有交點）、第五步用韋達定理列出根與系數的關系式、第六步根據具體題目要求的問題逆向思考需要的條件，具體問題具體分析，常涉及分類討論思想。至于橢圓和其它二次曲線的關系問題也能用“六步法”的模式求解。

另外，特殊問題特殊法（如點差法（特別是中點弦問題），對稱法）。

四、高考真題賞析：詳見2011-2016年新課標高考全國卷

總而言之，在橢圓的復習中，幫助學生梳理考點，總結常用的解題途徑和思路，讓學生學會讀題、審題、破題、解題，教師要展示必要的、完整的解題思路，提供可供模仿的解題過程，適當進行“一題多解”、“多題一解”的針對訓練；在平時訓練時要求學生選擇好的算法，提高運算的準確性，讓學生在高考中有所斬獲。