多帶多重雙向向量值小波包

張桂霞

(三門峽市教師進(jìn)修學(xué)校，河南 三門峽 472000)

?

多帶多重雙向向量值小波包

張桂霞

(三門峽市教師進(jìn)修學(xué)校，河南 三門峽 472000)

通過引進(jìn)雙向向量值多分辨分析與多帶多重雙向向量值小波包的概念.運(yùn)用矩陣?yán)碚摵蜁r(shí)頻分析方法，刻畫了多帶多重雙向向量值小波包的性質(zhì)，得到多帶多重雙向向量值小波包的正交公式，并且也得到了向量值函數(shù)空間L2(R,R3)的正交基.

雙向向量值多分辨分析；面具函數(shù)；向量值正交小波；雙向向量值小波包

1 問題的提出

小波分析(Wavelet Analysis)是近三十多年發(fā)展起來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，是應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程領(lǐng)域中一個(gè)飛速發(fā)展的新領(lǐng)域.向量值小波是一類廣義的多小波[1]451-460.1996年，Xia和Suter[2]508-518首先引進(jìn)了向量值小波的概念，研究了向量值正交小波的存在性及其構(gòu)造方法，F(xiàn)owler和Li利用離散的向量值正交小波變換研究海洋渦流現(xiàn)象[3]3018-3027. 2007年，楊守志教授引入了雙向小波的概念[4]1908-1920，與傳統(tǒng)意義上的小波相比，雙向小波具有一般的情形，具有單小波和多小波都沒有的某些性質(zhì)，應(yīng)用上也具有靈活性，譬如，人們可以利用雙向小波變換得出心電圖壓縮算法[5]117-121.隨著人們對(duì)小波分析研究的不斷深入，雙向小波成為了一個(gè)研究熱點(diǎn).與經(jīng)典小波相比雙向向量值小波有著明顯的優(yōu)勢(shì)，在實(shí)施離散的多小波變換之前要預(yù)濾波，而實(shí)施離散的雙向向量值小波變換則不需要進(jìn)行預(yù)濾波，這樣就大大地減少了工作量.所以，研究雙向向量值小波是必要的.Luo L[6]10146-10157等引入了兩尺度雙向向量值正交小波的概念，陳清江等[7]662-673引入了多尺度雙向向量值正交小波的概念，研究了它們的構(gòu)造算法.雙向向量值小波在向量值信號(hào)處理中應(yīng)用廣泛，然而，關(guān)于雙向向量值小波的研究成果甚少.受文獻(xiàn)[6,7]等的啟發(fā)，本文研究刻畫了多帶多重雙向向量值小波包的性質(zhì)，得到多帶多重雙向向量值小波包的正交公式.

2 雙向向量值多分辨分析

定義向量值函數(shù)Λ(t)∈L2(R,R3)的傅立葉變換為：

對(duì)任意的Λ(t)∈L2(R,R3)，‖Λ‖2表示向量值函數(shù)的范數(shù)，并且

對(duì)于兩個(gè)向量值函數(shù)Λ(t),Γ(t)∈L2(R,R3)，定義它們的符號(hào)內(nèi)積為：

其中“*”表示復(fù)共軛轉(zhuǎn)置.如果向量值函數(shù)H(t)∈L2(R,R3)滿足下面的雙向加細(xì)方程

(1)

定義1 如果向量值加細(xì)函數(shù)H(t)∈L2(R,R3)滿足(2)式，則稱H(t)是正交的，

(2)

(3)

i) Yτ?Yτ+1，τ∈Z；

ii)Λ(t)∈Yτ?Λ(mt)∈Yτ+1, τ∈Z；

iii) ∩j∈ZYj={O}, ∪j∈ZYj在L2(R,R3)中稠密，其中O表示L2(R,R3)中的零向量；

iv) 雙向向量值函數(shù)族{H(t-k),H(v-t):k,v∈Z}構(gòu)成子空間Y0的一個(gè)Riesz基.

設(shè)Xτ是子空間Yτ在Yτ+1中的直交補(bǔ)空間，并且存在m-1個(gè)緊支撐的向量值函數(shù)Gα(t)∈L2(R,R3),α∈Ω:={1,2,…,m-1}，使得Gα(t)伸縮平移構(gòu)成Xτ的Riesz基，即

(4)

由于Gα(t)伸縮平移構(gòu)成Xτ的Riesz基，因此向量值函數(shù)Gα(t)應(yīng)滿足下面的加細(xì)方程

(5)

在(5)的兩邊做傅立葉變換可得：

(6)

定義2 設(shè)H(t)∈L2(R,R3)是雙向向量值正交尺度函數(shù)，向量值函數(shù)Gα(t)滿足(5)式.如果H(t)與Gα(t)滿足以下條件，

(7)

則稱Gα(t)是關(guān)于H(t)的雙向向量值正交小波函數(shù).

定理1 設(shè)Φ(t)是雙向向量值正交尺度函數(shù),Ψα(t)是對(duì)應(yīng)于Φ(t)的雙向正交向量值小波函數(shù)，則對(duì)于?l∈Z，有以下結(jié)論成立：

證明：由于H(t)是雙向向量值正交尺度函數(shù)，根據(jù)定義1，有：

即第(1)式成立，同理可以證明第(2)式至第(6)式也成立.

3 多帶多重雙向向量值小波包的性質(zhì)

為了進(jìn)一步細(xì)化頻域帶，將雙向向量值小波的概念推廣為雙向向量值小波包.記：

定義3 稱向量值函數(shù)族{Ψmr+μ(t):r∈Z+,μ∈Ω0}為對(duì)應(yīng)于尺度函數(shù)Ψ0(t)的多帶多重向量值小波包，其中Ω0:={0,1,2,…,m-1}，

(8)

在加細(xì)方程(8)的兩邊做傅立葉變換，得：

(9)

為了研究雙向向量值小波包的性質(zhì)，將(8)式改寫為

(10)

記

(11)

因此，(11)式是關(guān)于雙向向量值尺度函數(shù)Fmr+μ(t)的加細(xì)方程，并且它傅立葉變換為

(12)

引理1[7]662-673若{Ψr(t):r∈Z+}是關(guān)于雙向向量值正交尺度函數(shù)Ψ0(t)的小波包，則有

(13)

引理2[8]249-262如果{Ψr(t):r∈Z+}是關(guān)于Ψ0(t)的雙向向量值小波包，則對(duì)m,r∈Z+,有

(14)

定理2 若{Ψr(t):r∈Z+}是關(guān)于Ψ0(t)的雙向向量值小波包，則對(duì)?α,β∈Z+,有

(15)

證明：根據(jù)矩陣?yán)碚?，雙正交關(guān)系式(15)等價(jià)于雙正交關(guān)系式(16)

(16)

當(dāng)α=β時(shí)，證明同定理2.現(xiàn)證α≠β的情形，令α>β，α=m[α/m]+ρ1，β=m[β/m]+μ1，情形1：如果[α/m]=[β/m]，那么ρ1≠μ1，

情形2：若[α/m]≠[β/m]，令[α/m]=m[[α/m]/m]+ρ2，[β/m]=m[[β/m]/m]+μ2，ρ2,μ2∈{0,1,…,m-1}.如果[[α/m]/m]=[[β/m]/m]，那么證明類似與情形1，現(xiàn)只證明[[α/m]/m]≠[[β/m]/m]的情況.再令[[α/m]/m]=m[[[α/m]/m]/m]+ρ3，[[β/m]/m]=m[[[β/m]/m]/m]+μ3,ρ3,μ3∈{0,1,…,m-1}，則，以同樣的方式經(jīng)有限步(記為θ步)運(yùn)算后ρθ,μθ∈{0,1,…,m-1}，αθ,βθ∈{0,1,…,m-1}.若αθ=βθ，則ρθ≠μθ，由情形1知原命題成立.若αθ≠βθ，可以得到：

(17)

定理4 對(duì)于任意的n∈Z+，雙向向量值函數(shù)族{Ψr(mjt-k),Ψr(k-mjt),r∈Εn,k∈Z}構(gòu)成向量值函數(shù)空間L2(R,R3)的正交基．

證明：根據(jù)定理2，向量值函數(shù)族{Ψr(t-v),Ψr(v-t),r∈Εn,v∈Z}構(gòu)成子空間DnX0的正交基,則對(duì)每一個(gè)j∈Z，{Ψr(mjt-v),Ψr(v-mjt),r∈Εn,v∈Z}構(gòu)成子空間DjDnX0的正交基．所以，對(duì)任意的正整數(shù)n，則有

⊕表示子空間的正交和.因此，向量值函數(shù)族{Ψr(mjt-v),Ψr(v-mjt),r∈Εn,v∈Z}構(gòu)成向量值函數(shù)空間L2(R,R3)的正交基．

[1]YangS，TangY，ChengZ.Constructionofcompactlysupportedorthogonalmultiwaveletwithscale=a[J].MathematicaNumericaSinica，2002，25(01).

[2]XiaXG，SuterBW.Vector-valuedwaveletsandvectorfilterbanks[J].IEEETransactionsonSignalProcessing，1996，44(03).

[3]FowlerJE，LiH.WaveletsTransformsforVvectorFieldsUsingOmnidretionallyBalancedMutli-wavelet[J].IEEETransactionsonSignalProcessing，2002，50(12).

[4]YangShouzhi，LiYoufa.Two-directionrefinablefunctiongsandtwo-directionwaveletswithdilationfactorm[J].AppliedMathematicsandComputation，2007，188(02).

[5] 費(fèi)小英，王培康.基于雙向小波變換的心電圖壓縮算法[J].航天醫(yī)學(xué)與醫(yī)學(xué)工程，2002，15(02).

[6]LuoL，LiW，LiQ.Astudyonorthogonaltwo-directionvector-valuedwaveletsandtwo-directionwaveletpackets[J].AppliedMathematics&Computation，2011，217(24).

[7] 陳清江，王曉鳳，白 娜.多尺度雙向向量值小波的構(gòu)造與性質(zhì)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2015，28(03).

[8] 楊守志，鄭賢偉.L2(Rn)上的半正交多小波框架[J].中國(guó)科學(xué):數(shù)學(xué)，2014，44(03).

[責(zé)任編輯 梧桐雨]

Multiple Vector-Valued Two-direciton M-band Wavelet Packets

ZHANG Guixia

(SanmenxiaTeacherEducationSchool,Sanmenxia472000,China)

The notion for vector-valued two-direction multiresolution analysis and multiple vector-valued two-direction m-band wavelet packets are introduced. The properties for multiple vector-valued two-direction m-band wavelet packets are characterized by virtue of matrix theory and time-frequency analysis method. The orthogonal relationship formulae concerning the multiple vector-valued two-direction m-band wavelet packets are obtained. Moreover, orthogonal bases ofL2(R,R3) are constructed.

vector-valued two-direction multiresolution analysis; mask function；orthogonal vector-valued wavelets; multiple vector-valued two-direction m-band wavelet packets

2016-12-15

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“低秩張量恢復(fù)及應(yīng)用”(61403298)；陜西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目“索伯列夫空間中小波框架的性質(zhì)及其應(yīng)用研究”(2015JM1024)

張桂霞(1965- )，女，河南三門峽人，三門峽市教師進(jìn)修學(xué)校高級(jí)講師,主要從事微分方程研究。

O174.2

A

1671-8127(2017)03-0076-05