左連續函數上確界的左連續性注記

羅群

（肇慶學院 數學與統計學院，廣東 肇慶 526061）

左連續函數上確界的左連續性注記

羅群

（肇慶學院 數學與統計學院，廣東 肇慶 526061）

利用左（右）連續函數及上（下）確界的定義，討論了定義在區間[a,b]上的有界函數y=f(x)的左（右）連續性與左（右）連續性的關系.

左連續函數；右連續函數；上確界；下確界；連續函數

1 示例解析

在文獻[1]的第92頁有一道習題，見例1.

例1[1]92設函數y=f(x)在區間[a,b]上有界，證明函數

在[a,b]上左連續，并舉例說明它們可以不右連續.

事實上，通過下面的例2可以看出，這個結論是錯誤的.即當函數y=f(x)在區間[a,b]上有界時，函數上可以不是左連續，也不是右連續.

例2設

顯然 f(x)在[-2,2]上有界，但是

在[-2,2]上既不是左連續也不是右連續.

顯然g(x)在[-2,2]上有界，但是

在[-2,2]上既不是左連續也不是右連續.

通過例2可知例1的結論是錯誤的，下面討論為使結論成立，需要增加什么條件.

本文利用左（右）連續函數及上（下）確界的定義，討論了定義在區間[a,b]上的函數y=f(x)的左（右）連續性與左（右）連續性的關系.

定義1[2]設函數 f在點x0的某右鄰域U+(x0)內有定義，若?ε>0,存在δ>0,使得對任意x∈[x0,x0+δ)?U+(x0),有

則稱 f在點x0右連續.

若函數 f在區間I上每一點都是右連續，則稱 f在區間I上為右連續函數.

設函數 f在點x0的某左鄰域U-(x0)內有定義，若?ε>0,存在δ>0,使得對任意x∈(x0-δ,x0]?U-(x0),有

則稱 f在點x0左連續.

若函數 f在區間I上每一點都是左連續，則稱 f在區間I上為左連續函數.

若 f在點x0既是右連續又是左連續，則稱 f在點x0連續.

若函數 f在區間I上每一點都連續，則稱 f在區間I上為連續函數.

定義2[2]設S為實數集R的一個數集，若數β滿足如下條件：

1）?x∈S,有x≤β;

2）?ε>0,存在x0∈S,使得β-ε

則稱數β是數集S的上確界，記為β=sup S.

設S為數集，若數α滿足如下條件：

1）?x∈S,有x≥α;

2）?ε>0,存在x0∈S,使得x0<α+ε,

則稱數α是數集S的下確界，記為α=inf S.

2 主要結論

在(a,b]上均為左連續.

證 1）顯然，M(x)在[a,b]上為增函數.?x0∈(a,b],要證M(x)在點x0為左連續，即要證?ε>0,存在δ>0,使得對任意x∈(x0-δ,x0]?[a,b],有

定理1 設函數y=f(x)在區間[a,b]上有界且左連續，則函數

i）若t0=x0,由于tl→imx-0f(t)=f(x0)=f(t0)>M(x0)-ε,由極限的局部保號性，存在t1∈[a,x0),使得M(x0)-ε0,則?x∈(x0-δ,x0]=(t1,x0]?[a,b],有

ii)若t0∈[a,x0),取δ=x0-t0>0,則

綜合i),ii)可知，M(x)在點x0為左連續，因此，M(x)在(a,b]上為左連續.

2）顯然，m(x)在[a,b]上為減函數.?x0∈(a,b],要證m(x)在點x0為左連續，即要證?ε>0,存在δ>0,對任意x∈(x0-δ,x0]?[a,b],有

i)若t0=x0,由于0由極限的局部保號性，存在取δ=x0-t?>0,則?x∈(x0-δ,x0]=(t?,x0]?[a,b],有m(x)=ai≤nt≤fxf(t)≤f(t?)

ii)若t0∈[a,x0),取δ=x0-t0>0,則對任意x∈(x0-δ,x0]=(t0,x0]?[a,b],有

綜合i),ii)可知，m(x)在點x0為左連續，因此，m(x)在(a,b]上為左連續.

注1 在定理1的條件下，M(x)和m(x)可以不是右連續.

例3設

顯然 f(x)在[-2,2]上有界且左連續，但是

在(-2,2]上是左連續而不是右連續.

顯然g(x)在[-2,2]上有界且左連續，但是

在(-2,2]上是左連續而不是右連續.

定理2 設函數y=f(x)在區間[a,b]上有界且右連續，則函數

在[a,b)上均為右連續.

證 1）顯然，M(x)在[a,b]上為增函數.?x0∈[a,b),要證M(x)在點x0為右連續，即要證?ε>0,存在δ>0,

對任意x∈[x0,x0+δ)?[a,b],有

由于 f在點x0右連續，所以?ε>0,存在δ>0,對任意t∈[x0,x0+δ)?[a,b],有

任取x∈(x0,x0+δ),由及上確界的定義，對上述ε>0,存在點t0∈[a,x],使得

若t0∈(x0,x]?[x0,x0+δ),有

所以，由式（1）和（2）得

故M(x)在點x0為右連續，因此，M(x)在[a,b)上為右連續.

2）同理，可證m(x)在[a,b)上為右連續.

注2 在定理2的條件下，M(x)和m(x)可以不是左連續.

例4設

顯然 f(x)在[-2,2]上有界且右連續，但是

在[-2,2)上是右連續而不是左連續.

顯然g(x)在[-2,2]上有界且右連續，但是

在[-2,2)上是右連續而不是左連續.

由定理1與定理2可得推論3.

推論3[1]83設函數y=f(x)在有界閉區間[a,b]上連續，則函數在[a,b]上均為連續.

[1] 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]華東師范大學數學系.數學分析:上冊[M].4版.北京:高等教育出版社,2010:6-72.

ANote of Left Continuity of Supremum about Left Continuous Function

LUO Qun

（School of Mathematical and Statistics,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China）

By the definitions of left(right)continuous function and supremum(infimum),the relationship of the left(right)continuity of functiony=f(x)and d efine on[a,b]is discussed.

left continuous function;right continuous function;continuous function;supremum;Infimum

O171

A

1009-8445（2017）02-0026-04

（責任編輯：陳 靜）

2016-11-03

羅 群（1963-），女，重慶人，肇慶學院數學與統計學院教授，博士.