存在交易費用的MAD資本市場的均衡價格

夏艷

（肇慶學院 數學與統計學院，廣東 肇慶 526061）

存在交易費用的MAD資本市場的均衡價格

夏艷

（肇慶學院 數學與統計學院，廣東 肇慶 526061）

對僅含風險資產且存在交易費用的均值-絕對偏差資本市場，給出了最優投資組合的求解方法，并導出了一個簡潔易用的計算均衡價格的公式．

交易成本；MAD資本市場；均衡價格；最優投資組合

0 引言

1952年，Markwitz率先提出了MV模型，首次將數理統計方法應用于投資組合選擇的探討中，為現代投資組合理論研究奠定了重要的基礎.到20世紀60年代初，美國學者William Sharpe[1]、John Lintner[2]和Jan Mossin[3]等人在研究資產組合理論的基礎上，得出了著名的資本資產定價模型.自此之后，不少學者開始積極探討和研究均衡價格的存在性問題，但直到20世紀末，絕大部分分析均衡價格的文獻都是建立在MV框架下.MV框架下的投資組合模型是一個含參數的大規模二次規劃問題，由于其過于嚴格的假設以及用方差衡量風險的局限性，導致其在市場上的實際應用受到局限.后來，Konno[4]和他的團隊提出了均值-絕對偏差模型，即MAD模型，用絕對偏差衡量風險，有效地解決了數據繁雜且應用受限等難題.

在實際投資過程中，無論是買進證券還是賣出證券，每一位投資者都必須支付一定的交易費用，這筆費用的支付，對投資者的最終收益和投資策略都會產生直接且重要的影響，尤其是當資金數量相對較少時，資金的分散有可能引起無法接受的交易成本.由此看來，將交易費用引入到投資組合模型中是非常有必要的，國內學者陳志平[5]等也研究了MV框架下帶交易費用的均衡價格問題.本文在不允許賣空的情況下，用均值衡量收益，用絕對偏差度量風險，并引入了比例交易費用，建立含風險資產的MAD資本市場框架，分析最優投資組合的求解過程，探討均衡價格的顯式表示方式.

1 存在交易費用的MAD資本市場模型

假定MAD資本市場中有n種風險資產(S1,S2,…,Sn),其中資產Sj的收益率Rj在T個時間段內的樣本觀測值分別為rj1,rj2,…,rjT,則Rj的數學期望rj為

假設初期資產Sj的單位價格為Pj(j=1,2,…,n),市場上共有m個投資者Ii(i=1,2,…,m).若投資者Ii在初期擁有資產Sj的數量為則初始投入的資產總值為

用xij表示投資者Ii在交換后所擁有的資產Sj的數量，假設交易費用為比例交易費用，比例系數為k,則交易費用為交換前后資產總值保持不變，xij應滿足下列條件：

投資者Ii在投資組合Xi=(xi0,xi1,…,xin)下的期望收益率為

絕對偏差為

若給定預期收益率ρ,存在交易費用的MAD模型為

2 最優投資組合

存在交易費用的MAD模型是一個非光滑的線性規劃問題，在求解時必須要進行轉化.對于特定的投資者Ii而言，不妨記表示該投資者初期投資在資產Sj上的資金比例，類似地，可記則模型（3）可以改寫為

引入非負輔助變量vt和wt,滿足

則有

那么投資者的最優投資組合問題（4）可轉換為

同理，可引入非負輔助變量pj和qj,去除約束條件中的絕對值項，得到與（5）等價的模型

這是一個標準的線性規劃問題，可以采取單純形法求解.不妨記最優化問題（6）的最優解在決策變量上的取值為則根據模型（3）和模型（4）的關系可知：存在交易費用的MAD模型的最優解為

3 均衡價格

下面將導出計算能使市場供需平衡的非負均衡價格向量(P1?,P2?,…,Pn?)的具體公式.設資產Sj在市場中的總量為要使每種資產的總供給等于總需求，則存在交易費用的MAD模型最優解（7）必須滿足

于是得到

根據式（1）和式（9），得到

其中a=(a1,a2,…,an)T,b=(b1,b2,…,bn)T.

將系數矩陣進行行初等變換

因此，

聯立式（1）和式（12），得

因此均衡價格為

也就是說，含交易費用的MAD資本市場的均衡價格并不唯一，可用最優投資組合表示，這對均衡價格體系是一個有效的補充.

[1] SHARPE W F.Capital asset prices:a theory of market e-quilibrium under condition of risk[J].Journal of Finance,1964,19:425-442.

[2] LINTNER J.The evaluation of risk assets and the selection of risky investments in portolio choice[J].Review of Economics and Statistics,1965,47:13-37.

[3] MOSSIN J.Equilibrium in capital asset market[J].Econometrics,1966,34:768-783.

[4] KONNO H,SHIRAKAWA H.Equilibrium relation in the mean absolute deviation capital market[J].Financial Engineering and the Japanese Markets,1994,1(1):21-35.

[5] 陳志平,王懿.均值-ES框架下帶交易費用的資本資產市場中均衡價格的存在性與確定[J].系統與科學,2011,31(5):519-

533.

The Equilibrium Price in the MAD Market Including Transaction Costs

XIAYan

（School of Mathematics and Statistics,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China）

The solution method of optimal portfolio has been given,and an explicit formula for the equilibrium price is derived from the mean-absolution deviation capital market with risk assets,in which transaction costs are taken into account.

transaction costs;MAD model;equilibrium price;optimal portfolio

F830.9

A

1009-8445（2017）02-0015-04

（責任編輯：陳 靜）

2016-12-07

廣東省教學質量與教學改革工程建設項目（201550）

夏 艷(1980-)，女，湖南南縣人，肇慶學院數學與統計學院助教,碩士.