1/6-Cantor集的頂點(diǎn)的球密度計(jì)算

周玉雯，朱智偉

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

1/6-Cantor集的頂點(diǎn)的球密度計(jì)算

周玉雯，朱智偉

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

本文研究自相似集E的頂點(diǎn)的上、下球密度計(jì)算問(wèn)題，其中E是由作用于閉區(qū)間[0,1]上的3個(gè)壓縮比為1/6的相似壓縮函數(shù)生成.通過(guò)在區(qū)間[0,1]上引入一個(gè)以E為支撐的自相似測(cè)度，然后利用該自相似測(cè)度定義某點(diǎn)處的上、下球密度.結(jié)合E的自相似結(jié)構(gòu)，將上、下球密度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)變成計(jì)算閉區(qū)間[1/6,1]上密度函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題，從而得到集合E上各頂點(diǎn)的上、下球密度的精確值.

1/6-Cantor集；自相似集；上球密度；下球密度

0 引言

分形幾何是20世紀(jì)下半葉形成的一個(gè)幾何學(xué)新分支，它既是非線性科學(xué)的前沿和重要分支，又是一門(mén)重要學(xué)科.目前，分形的研究與應(yīng)用已經(jīng)滲透到自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域.從數(shù)學(xué)的角度看，測(cè)度與維數(shù)是分形研究中2個(gè)最基本的問(wèn)題，許多關(guān)于分形的數(shù)學(xué)問(wèn)題都圍繞測(cè)度與維數(shù)展開(kāi).

自相似集是一類特殊的分形集合，具有分形的2個(gè)特點(diǎn)：精細(xì)結(jié)構(gòu)和涉及無(wú)限生成過(guò)程，其所表現(xiàn)出的自相似性給研究這類集合帶來(lái)方便，因此，自相似集是目前研究成果最為豐富的一類分形集.經(jīng)典的自相似集包括3分Cantor集、Sierpinski墊片、Von Koch曲線等[1-2].

球密度是刻畫(huà)分形局部結(jié)構(gòu)的重要參數(shù)，與測(cè)度的研究密切相關(guān).通過(guò)計(jì)算分形集上某些點(diǎn)的上、下球密度值，可以從中了解到分形集測(cè)度的某些定量性質(zhì)[2].

本文中，筆者將討論作用在閉區(qū)間[0,1]上的迭代函數(shù)系統(tǒng){f1(x),f2(x),f3(x)}所生成的自相似分形集上某些點(diǎn)的球密度計(jì)算問(wèn)題，其中由此生成的自相似集稱為1/6-Cantor集.注意到當(dāng)取時(shí)，由迭代函數(shù)系統(tǒng)所生成的自相似集就是經(jīng)典的3分 Cantor集，關(guān)于3分Cantor集上點(diǎn)的球密度計(jì)算問(wèn)題，已經(jīng)在文獻(xiàn)[3]中得到圓滿解決.

1 基本概念

設(shè)D?R是有界閉子集，函數(shù) f:D→D.如果存在c(0

命題1[2,4]設(shè){f1,f2,…,fm}是D?R上的迭代函數(shù)系統(tǒng),函數(shù) fi的壓縮比為ci,0

定義1[2,4]設(shè)E是由迭代函數(shù)系統(tǒng){f1,f2,…,fm}生成的自相似集，函數(shù) fi的壓縮比為ci,i=1,2,…,m.稱滿足下列條件的實(shí)數(shù)s為E的自相似維數(shù).

定義2[4]設(shè)E是由迭代系統(tǒng){f1,f2,…,fm}生成的自相似集，fi的相似比為ci,i=1,2,…,m.s為其自相似維數(shù)，稱測(cè)度μ是支撐為E的自相似測(cè)度，如果μ滿足

這里A為R上任一Borel集.

根據(jù)自相似測(cè)度μ的定義知，E是μ的支撐，且滿足如下條件[4]：

定義3[2,4]設(shè)E是由迭代函數(shù)系統(tǒng){f1,f2,…,fm}生成的自相似集，s為其自相似維數(shù)，即s滿足式（2），μ為式（3）所定義的自相似測(cè)度.對(duì)任一x∈R,點(diǎn)x關(guān)于μ的上球密度和下球密度分別定義為

其中B(x,r)表示以x為中心、半徑為r的球,對(duì)一維情形，B(x,r)=(x-r,x+r).

根據(jù)定義3，顯然有-Ds(μ,x)≤-Ds(μ,x).當(dāng)-Ds(μ,x)=-Ds(μ,x)時(shí)，我們稱E在點(diǎn)x處的密度存在，并記公共值為Ds(μ,x),對(duì)于大部分集合，尤其是自相似集而言，Ds(μ,x)幾乎處處不存在.

2 主要結(jié)果

圖1-Cantor集構(gòu)造過(guò)程的前2步

本文的主要結(jié)果為定理1與定理2.

3 主要結(jié)果的證明

3.1 定理1的證明

由對(duì)稱性以及上、下球密度的定義，不難看出對(duì)于閉區(qū)間[0,1]的2個(gè)端點(diǎn)x=0與x=1來(lái)說(shuō)，他們的上球密度相等，下球密度也相等.同樣，對(duì)于任何中所有長(zhǎng)為的閉子區(qū)間的2個(gè)端點(diǎn)的上、下球密度也分別相等.因此，對(duì)任何只需證明中所有長(zhǎng)為的閉子區(qū)間的左端點(diǎn)的上、下球密度分別等于原點(diǎn)O處的上、下球密度即可.

事實(shí)上，設(shè) xn為 En中某一閉子區(qū)間的左端點(diǎn)，則有根據(jù)壓縮函數(shù)fi(i=1,2)的性質(zhì)及s=log63,對(duì)任何滿足的實(shí)數(shù)r,有

由此又得到

3.2 定理2的證明

首先證明下面的引理1.

引理1 條件同定理1，則有

因此對(duì)任意的0

由上球密度定義得到

另一方面，存在一個(gè)r0,使得

令6k+1-6?3k+1>0,得到k≥2,即當(dāng)k≥2時(shí)，f′(k)>0,此時(shí) f(k)為單調(diào)遞增函數(shù)，從而k≥2成立.余下證明當(dāng)k=1時(shí)結(jié)論也成立.

不難看出當(dāng)k>1時(shí)，g′(k)<0,從而有

對(duì)所有k>1成立.余下考慮k=1的情形，即的情形，此時(shí)又分4種情形討論：

[1] 周作領(lǐng)，瞿成勤，朱智偉.自相似集的結(jié)構(gòu)——Hausdorff測(cè)度與上凸密度[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[2]KENNETH F.分形幾何——數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].曾文曲，譯.北京:人民郵電出版社，2007.

[3] FENG Dejun,HUASu,WEN Zhiying.The pointwise densities of Cantor measure[J].J MathAnalAppl,2000,250:692-705.

[4]FENNETH F.Techniques in Fractal Geometry[M].New York:John Wiley&Sons,1997.

The Computation of Densities of Vertexes on One Sixth Cantor Set

ZHOU Yuwen，ZHU Zhiwei
（School of Mathematics and Statistics,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China）

This paper is about the computation of densities of vertexes on self-similar setE,whereEis generated by three functions on interval[0,1]with contraction ratioA self-similar measureμ with support Eis defined,and the upper spherical density and lower spherical density are defined with respect to this measure.By the similarity ofE,the exact values of spherical densities are obtained by the maximum of density function on interval

One Sixth Cantor set；self-similar set；upper spherical density；lower spherical density

O174.1

A

1009-8445（2017）02-0001-07

（責(zé)任編輯：陳 靜）

2016-11-14

周玉雯(1994-),女,河南潢川人,肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2012級(jí)學(xué)生.

朱智偉(1968-),男,云南祿豐人,肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授,博士.