事件獨立性應用的注記

姚曉鵬 鄭挺

【摘要】概率論中事件的獨立性是一個很重要的概念，應用中經常會出現問題.本文指出了文獻[1]中事件獨立性應用中存在的值得商榷之處.

【關鍵詞】概率；事件；條件概率；貝葉斯公式

文獻[1]是普通高等教育“十一五”國家級規劃教材.該教材自出版以來，深受好評.我們概率論課程就是使用這本教材.在該課程學習中，發現教材對于事件的獨立性的應用問題中有值得商榷之處.

文獻[1]中例1.4.9：

伊索寓言《孩子與狼》講的是一個小孩每天到山上放羊，山里有狼出沒，第一天，他在山上喊：“狼來了！狼來了！”山下的村民聞聲便去打狼，可到山上，發現狼沒有來；第二天仍是如此；第三天，狼真的來了，可無論小孩怎么喊叫，也沒有人來救他，因為前兩次他說了謊，人們不再相信他了.

文獻[1]用貝葉斯公式試圖分析村民的心理變化過程并給出如下解法：

首先記事件A為“小孩說謊”，記事件B為“小孩可信”，不妨設村民過去對這個小孩的印象為

P（B）=0.8，P（B）=0.2，（1）

我們現在用貝葉斯公式來求，這個小孩說了一次謊后，村民對他的可信度的改變.

即用貝葉斯公式來求P（A|B）和P（A|B），這兩個概率的含義是：前者為“可信（B）的孩子說謊（A）”的可能性，后者為“不可信（B）的孩子說謊（A）”的可能性.在此不妨設P（A|B）=0.1，P（A|B）=0.5.（2）

第一次村民上山打狼，發現狼沒有來，即小孩說了謊（A），村民根據這個信息，對小孩的可信程度改變為

P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）

=0.8×0.10.8×0.1+0.2×0.5=0.444.

這表明村民上了一次當后，對這個小孩的可信程度由原來的0.8調整為0.444，也就是（1）調整為P（B）=0.444，P（B）=0.556.

在此基礎上，我們再一次用貝葉斯公式來計算P（B|A），即這個小孩第二次說謊后，村民對他的可信度的改變為

P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）

=0.444×0.10.444×0.1+0.556×0.5=0.138.

這表明村民們經過兩次上當，對這個小孩的可信程度已經從0.8下降到了0.138.如此低的可信度，村民聽到第三次呼叫時怎么再會上山打狼呢？

這里的計算有值得商榷的地方.

1.文中說P（B|A）的含義是：“可信（B）的孩子說謊（A）”的可能性.從一般證明，我們認為，“可信的孩子說謊”這個命題應該是命題“孩子可信”與命題“孩子說謊”的合取.也就是說，“可信（B）的孩子說謊（A）”這一事件應該是事件A與事件B的積事件，而不是條件概率計算問題.

事件的條件概率的定義是（文獻[1]第41頁）：“設A與B是樣本空間Ω中的兩事件，若P（B）>0，則稱P（A|B）是條件概率.”

第一個隨機試驗是：觀察小孩是否說謊，樣本空間為

Ω1={A，A}；

而第二個隨機試驗是：觀察村民是否信任小孩，樣本空間為Ω2={B，B}.

根據條件概率的定義，顯然事件A與事件B之間不存在條件概率.

2.在這里指出，“小孩說不說謊”與“村民相信還是不相信小孩”并無直接聯系，也就是說，對小孩而言，他并不知道村民對他的信任度是多少，他在喊出狼來了的前提是認為村民對他是百分之百地信任，這樣村民才一定會在他喊狼來了時，毫不猶豫地受騙.若他知道村民對他的信任度不是百分之百時，他就會猶豫他喊狼來了時村民是否會來，也就是說村民可能不來.如此就成為他自己愚弄自己.用概率的術語，那就是：事件A與事件B相互獨立.

3.文獻[1]中（1）與（2）式都是由“不妨設”設出來的，有隨意性，若設村民過去對這個小孩的印象為

P（B）=0.7，P（B）=0.3，（3）

還設P（A|B）=0.1，P（A|B）=0.7，（4）

由文獻[1]的算法得

P（B|A）=0.7×0.10.7×0.1+0.3×0.7=0.25.

這說明村民第一次受騙后，對小孩的信任度由0.7降到0.25，也就是說村民不可能上第二次當了.這與該文的結論差別很大.主要原因是假設的（1）（2）是在已知村民受騙兩次，為了湊出要想的結果而拼湊出來的.而假設（3）（4）也是為了湊出要想的結果而拼湊出來的.因此，這種方法不具實際意義.

【參考文獻】

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011：50-51，59.

[2]盛驟等，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004：34-35.

[3]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程習題與解答[M].北京：高等教育出版社，2005：43.

[4]王增輝，張好治，等.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2011：28.