從倍比關系看分數類解決問題的教學

汪松浩

在小學數學學習中，分數內容是教學中的一個難點，其中以“分數乘除法解決問題（應用題）”尤為突出。很多專家和教師針對這一內容進行了大量教學研究，然而“分數類解決問題”的教學之難依舊存在。因此，筆者想就此內容提出一些自己的看法，以供同仁參考。

一、問題提出

“分數乘除法”安排在人教版《數學》六年級上冊，大部分教師在教學這一內容時會遇到這樣的情況：分數的乘法計算和解決問題在作為新知識學習時，往往不會遇到太大困難。一旦分數除法計算介入，學習困難就立即突顯了。很多教師認為，分數類解決問題的教學關鍵在于單位“1”的認知。學生由于判斷不清楚哪一個數量是單位“1”，從而難以確定用什么方法來解決。基于這種考慮，六年級數學課堂中有一種潛在的通用教學模式：

1. 審題，尋找題目條件中分率所對應的單位“1”。

2. 判斷單位“1”的量是否已知。

單位“1”的量已知，即求部分量（或稱比較量），用單位“1”的量乘分率可求；單位“1”的量未知，即用部分量（比較量）除以對應的分率可求單位“1”的量（或是用方程來求）。

同時，單位“1”到底是哪個數量，也可以通過條件中的某些“特征”來直接判斷，比如“比”字后面的數量就是單位“1”的量，分率前面“的”字前面的數量也是單位“1”的量。

這種教學方式，從實際教學效果來看是不夠理想的。在解題過程中，大部分學生按照一種機械模式來操作，難以對問題中的數量關系進行有效分析，對于“模型題”以外的習題仍然無從解決。學生無法靈活運用，無法內化成解決問題的能力。那么如何理解分數類解決問題的數量關系？分數類解決問題采用什么樣的教學策略才會更加有效？

二、問題分析

1.引入方程，是否能解決分數類解決問題的困難

分數類問題解決的難度是一直存在且引起廣泛關注的。在新一輪課改中可以看到教材里相關內容的調整，說明教材的編寫者們也在嘗試從教學源頭——教材的編寫上來改變這一現狀。最新教材（人教版為例）將分數除法的解決問題部分由原來的算術解法修改為引入方程解決問題。教材編寫的改變帶來了教學行為的改變。教學實施中，方程的確可以有效地降低除法逆運算的思維難度，但列方程解決問題本身就是小學數學學習中的一個難題。這是與算術解法完全不同的兩種思維方式，學生在設未知數和列等量關系中均易遇阻。而且引入方程對于之前的模式教學并沒有什么實質性突破，學生依舊需要從已知數量中找單位“1”是誰，由此決定到底是直接用算術方法的乘法計算還是用方程的乘法計算。模式訓練中的任何一環都未因此而突破，改變的僅是“算術方法的除法”與“方程”這兩種方法互相替換而已。這種“換湯不換藥”的改變，使得教與學的困難依舊存在。

2.分數問題解決中的數量關系是否那么特殊

在分數的整個學習過程中，老師或學生都能體會到，分數跟以前學的數不太一樣，無論是分數意義的學習，還是分數的計算亦或是解決問題，似乎都自成一套體系。我們不由要問：分數真的是一類數嗎？分數類解決問題難道真的脫離了基本的數量關系自成體系嗎？無疑這是不可能的事情。

我們常說的比較事物數量之間關系的方法有兩種：一是比較兩個數量相差關系，叫做差比，對應于加減運算；二是比較兩個數量之間的倍數關系，叫做倍比，對應于乘除運算。毫無疑問分數的乘除法解決問題應該對應到倍比問題中來。我們要想看清事物的本來面目，最直接、有效的方法就是將其簡化到最基本的模型中來。如：

（1）甲數是6，甲數是乙數的3倍，乙數是多少？

（2）甲數是6，甲數是乙數的■，乙數是多少？

不難看出這兩個題的數量關系是相同的，都是運用除法來運算：（1）6÷3=2；（2）6÷■=9。

因此，我們就能得出一個結論：分數類解決問題中的數量關系歸根結底就是倍比關系。分數類解決問題應該基于差比和倍比關系來理解和教學。

事實上分數定義本身就是多樣性的。張奠宙先生就對分數定義有如下幾種論述：

定義1（份數定義）：分數是把一個單位平均分成若干份之后其中的一份或幾份。

定義2（商定義）：分數是兩個整數相除（除數不為0）的商。

定義3（比定義）：分數是整數q與整數P（P≠0）之比。

定義4（公理化定義）：有序的整數對（p，q），其中p≠0。

因此分數類解決問題亦可根據不同含義來解題，可以通過等分意義中的“份數”來解釋，也可以通過除法中的商來理解，還可從比的意義來處理。分數意義的多樣性，決定了分數類解決問題中合理解釋途徑的多樣性，這正是數學邏輯靈活與嚴謹的表現。但談到數量關系，應該是“差比與倍比關系”。理順這種數量關系，我們就會明白在教學中為何對單位“1”這個數量是如此重視，單位“1”的量實際上就是倍比問題中的“標準量”（或一倍量），分率的含義就是整數“倍”的含義擴充（非整數倍），所謂“倍”“率”同宗。

3.我們是否能基于基本的數量關系來教學分數類解決問題

讓我們先簡單回顧一下整數、小數類的解決問題的教學。

首先，以人教版教材為例，整數類解決問題中“倍”的教學出現在三年級上冊。在教學這一部分內容時，學生會在學習初出現短暫的困難期，但隨著教學的深入，在后段學生似乎不再有分析困難。表面順利的背后可能隱藏了一個被人忽視的“禍根”。有教師用整數問題中積往往大于因數的這種感性認識來幫助學生突破難點，即求較大的數就用乘法，反之亦然。這種不是基于數量關系的教學將嚴重影響小數和分數的倍比關系學習，使解決問題的數量關系分析會因此而變得非常困難。

其次，小數的倍比關系的解決問題教學存在知識空缺。幾乎所有的小數類型的問題解決都是基于一個具體的生活情境來實現算理分析的，如：行程問題、工效問題、歸一問題等，而缺乏明確的倍比關系的基本數量關系的訓練。在教材中是看不到諸如“求甲數的0.132倍是多少？”這種問題的。這種回避是源于生活用語中，“倍”的含義帶有整數倍的指向。日常中，人們對“1.5倍”的說法持模棱兩可的態度，至于“0.132倍”的說法則更是鮮有耳聞的。如此避諱之后，關于倍比關系的原型問題在小數的解決問題當中是缺位的。

值得一提的是，在小數的解決問題中，“歸一問題”的教學意義重大，影響深遠，是大有可為的。例如：

有12千克小麥可以磨面粉7.5千克，要磨面粉3.5千克需要小麥多少千克？

解法一：12÷7.5=1.6（千克）

1.6×3.5=5.6（千克）

解法二：7.5÷12=0.625（千克）

3.5÷0.625=5.6（千克）

此題是一個很好的“歸一問題”的訓練素材，而“歸一問題”就是以“倍比關系”為原型的。此類題中“標準量”的變化，可以幫助學生體驗標準量和參考量關系是如何確立的。但可惜的是，現行教材中這類素材的使用非常罕見。

由此可見，在小數的乘除法解決問題中知識結構性缺失，架空了分數類解決問題認知的序列前項，導致“倍比關系”的學習從小數類型正遷移到分數類型非常困難。所以當遇到分數問題時我們便生造和割裂出一個特別的解題模式，造成學生認知困難。

再次，在進行分數意義的教學時，由于過份強調等分意義，強調“平均分”和單位“1”，導致分數的其他含義滲透困難，學生對分數這類數的認知不夠全面。過份突出分數的特殊性和等分含義中的分割過程，對數的共性特征提取不夠、運用不足，造成有關“數的認識”正遷移困難。延續到分數類解決問題的教學時，分數的等分意義對問題解決依舊影響巨大。而解決問題從等分意義和關于比的含義理解，實際是以整數的“份數”為媒介，其數量關系的理解模型依舊是整數模型，沒有從分數直接的倍比關系出發解決問題。

三、解決建議

1.讓分數教學回歸到“數的認識”的道路上來

首先，讓分數意義的教學更多樣化，階段性教學目標更加合理、明確。三年級，分數的初步認識可以從等分意義入手，因為有良好的生活認知基礎以及直觀數學模型作參考，讓分數的首次認識變得簡單而有趣。但隨后五年級再次認識分數時，不應仍停留在等分意義的理解上，而應在突破假分數的教學之后，將分數教學拓展到對整個分數數域的感知與認識上，幫助學生建立較完整的分數認識。并及時落實對分數其他含義的溝通，讓學生對分數的理解更加全面，使其對分數的學習最終落實到數的認識高度上來。

其次，多做分數、小數的計算溝通，在四則運算與方程的計算中讓學生體會分數、小數的計算等價意義。所有類型的數字在計算規則中的變化都是基于“數”的背景，有利于分數突破在“等分過程”中的不利影響，讓學生盡快將分數當做一類“數”來看待。當學生能自然地將分數當做像整數、小數一樣的“數”時，再做問題解決的教學就會變得輕松自如一些。

2.讓解決問題回歸到“數量關系”的教學道路上來

要想解決好分數類解決問題必須落實“倍比關系”的數量關系教學，而且必須將“倍比問題”當做一類系統問題來看待。只有在系統教學的前期做好知識鋪墊，利用好知識的正遷移作用才可能實現最后的知識難點的突破。

首先，“倍比問題”的教學重難點在于兩個“量”——“標準量”和“比較量”的認識和突破。這就須要在每次接觸此類知識的時候都緊扣數量關系來分析，緊扣這兩個量的理解來實施教學。 “倍比關系”的教學有三個階段：三年級學習整數類倍比問題，五年級學習小數類倍比問題，六年級學習分數類倍比問題。每個階段都要落實好“標準量”和“比較量”的認識，不斷擴充完善倍比關系的認識。

其次，重提“文字題”這一經典的題型。文字題是任何類型解決問題的原型題，是數量關系教學中較純粹、有力的素材。有教師甚至在教學有生活情境的解決問題時，帶學生將其梳理簡化為相應的文字題，利于學生看清數量關系的“骨架”，這無疑是一個有效的教學方法。新課改中，文字題的地位被削弱，導致學生在解決問題中更多地依靠情境中的事理來進行數量關系分析，對基本的數量關系原型認識比較粗淺。特別應該在小數的學習階段加大文字題（特別是倍比關系的文字題）的教學份量，能有效擴充學生對倍數的關系的認識，讓他們認識到“標準量”和“對比量”是可以互相轉化的。這對后面分數類的相關內容學習起到至關重要的鋪底作用。

等到學生在六年級遇到分數類解決問題時，我們就只須利用好“倍比關系”已有的認識基礎來實施對比教學。教學中鼓勵學生將分數的倍比問題與整數、小數的倍比模型題進行比對，鞏固數量關系的原型認知，實現知識點之間的正向遷移。對分數的倍比問題一定要全面認識到“倍”和“率”只是倍比關系中兩個方向的描述而已：甲數是乙數的3倍，即乙數是甲數的■。同時可將分率轉化為小數倍進行對比運算，如“甲數的■”可轉化為“甲數的0.2（倍）”；“比甲多50%”可轉化為“是甲的1.5倍”……方便學生對“倍”與“率”的理解得到有效溝通。此類轉化能有效消除學生的理解困難，特別是在解決類似利潤問題這樣的分數難題中效果明顯。

最后，方程解決問題的教學應該安排在教授完分數乘除法算術方法之后。算術方法的乘法和除法是對應的數量關系中正逆兩個方向的解題方法，是一個完整的結構認知，需要學生充分理解掌握。并且在乘除法綜合類型的解決問題中進行充分對比訓練之后，這個“分數倍比問題”的教學才算完整。而方程只是另外一種有別于算術方法的解題方法，它的意義充分體現在解決較難的數量關系的問題中。

綜上所述，分數類解決問題的教學困惑絕不是一個簡單的知識點的問題。它是分數教學版塊中的一部分，我們要有“數”的建構意識，讓分數意義、分數計算的教學推動解決問題的教學。同時，解決問題應該提升到“數量關系”的系統建構上來，從整體著手認識這個問題。唯有如此，才能從根本上使這個難點得以突破。

[責任編輯：陳國慶]