“聚零為整，化整為零”思想方法在線性代數課程教學中的應用

涂正文++吳艷秋++鄒黎敏

【摘要】基于“授之以魚，不如授之以漁”的教學理念，本文淺談如何將“聚零為整，化整為零”的思想方法巧妙地融入線性代數的課程教學與解題中，同時突出該思想方法在該門課程中應用的重要性.

【關鍵詞】聚零為整；化整為零；線性代數

一、線性方程組求解中的“聚零為整，化整為零”

設含m個方程，n個未知量的線性方程組

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1，a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2，…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm.（1.1）

利用矩陣的乘法，可以將其每一個方程表示成矩陣乘積的形式，即有

（ai1，ai2，…，ain）x1x2xn=bi，（i=1，2，…，m），這m個等式的左邊有一個共同點，其中第二個矩陣都為（x1，x2，…，xn）T.利用矩陣的乘法將這m個等式“聚零為整”，則有a11a12…a1na21a22…a2nam1am2…amnx1x2xn=b1b2bm .（1.2）

（1.2）式便是線性方程組的矩陣形式.

注釋：（1.1）式變形成（1.2）便是“聚零為整”，反之，（1.2）式變形成（1.1）便是“化整為零”.

例1 試用矩陣乘積的形式表示A=（aij）m×n的每一行的元素之和等于k.

解 由條件可得x1+x2+…+xn=k，x1+x2+…+xn=k，…x1+x2+…+xn=k. 將其按上述思想“聚零為整”，有a11a12…a1na21a22…a2nam1am2…amn111=kkk .

二、向量組線性表示中的“聚零為整，化整為零”

設向量組B：β1，β2，…，βs可由向量組A：α1，α2，…，αm線性表示，且線性表示式為

β1=k11α1+k21α2+…+km1αm，β2=k12α1+k22α2+…+km2αm，…βs=k1sα1+k2sα2+…+kmsαm.（2.1）

利用“聚”的思想將這s個等式“聚零為整”，有

（β1，β2，…，βs）=（α1，α2，…，αm）k11k12…k1sk21k22…k2skm1km2…kms .（2.2）

（2.2）便是（2.1）的矩陣形式.

注釋：（2.1）式變形成（2.2）便是“聚零為整”，反之，（2.2）式變形成（2.1）便是“化整為零”.

例2 試寫出線性表示式β1=α1+2α2+3α3，β2=α1+5α2+7α3，β3=α1+α2+6α3 的矩陣形式.

解 按上述思想“聚零為整”，有

（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）111251376 .

三、方陣可對角化中的“聚零為整，化整為零”

定理 n階方陣A可對角化的充要條件是A有n個線性無關的特征向量.

注釋：充分性的證明過程體現了“聚零為整”，必要性的證明過程體現了“化整為零”.

例3 A，B分別為m×n，n×l的矩陣，且滿足AB=0，證明R（A）+R（B）≤n.

注釋：此題的證明過程便體現了“化整為零”的思想方法.

例4 設A為n階矩陣，如果對于任一n維向量x=（x1，x2，…，xn）T都有Ax=0，證明A=0.

注釋：此題的證明過程便體現了“聚零為整”的思想方法.

教學實踐證明，將“聚零為整，化整為零”的思想應用于抽象難懂枯燥的線性代數的教學和解題中，有助于學生對該門課程知識的掌握，同時對于學生自學能力的培養是有幫助的.

【參考文獻】

[1]姜友誼，吳艷秋，鄒黎敏.線性代數[M].北京：科學出版社，2015.

[2]楊賢仆.線性代數中“聚零為整，化整為零”的思想[J].西南師范大學學報（自然科學版），2009（5）：235-239.

[3]張志讓，劉啟寬.線性代數與空間解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2009.