高職高等數學中一元函數之幾種常用極限求法實例探析

曾位

【摘要】極限是高等數學中的重要概念之一，它既是用來刻畫變量在變化過程中變化趨勢的一個基本概念，又是研究高等數學的重要工具和思想方法，作為高等數學的基礎，它貫穿于整個高等數學始終.極限的求法是高等數學學習中的難點之一，又是全國專升本入學考試數學公共科目必考的內容.求極限的方法較多，本文基于教師在高職生的教育教學中針對高職生的學習現狀歸納總結出了幾種常用的易于高職生學習的求極限的方法，并給出了幾道專升本真題實例，希望對專升本的學生有一定的幫助.

【關鍵詞】一元函數；極限；實例

極限是高等數學中的兩個重要概念之一，是高職學生進入大學后所學的第一個新的數學概念，是研究高等數學的重要工具和思想方法，作為高等數學的基礎，它貫穿于整個高等數學始終.一元函數極限的求法是高職學生高等數學學習中的難點之一，又是全國專升本入學考試數學公共科目必考的內容.求一元函數極限的方法較多，本文基于本人在高職生的教育教學中針對高職生的學習現狀歸納總結出了在實際計算中用的較多、專升本考試中出現次數較多的幾種.

一、一元函數極限求法例析

（一）分段函數在某一點（左右兩側函數表達式不一樣）時求極限

求分段函數在某一點（左右兩側函數表達式不一樣）的極限，要根據定理，即 limx→x0f（x）=A limx→x-0f（x）=limx→x+0f（x）=A，特別注意當函數在某一點的左極限和右極限都存在但是不相等時，則函數在這一點的極限是不存在的.

例1 設函數f（x）=x，x<1，x-1，x≥1，

求 limx→1f（x）.

解 因 limx→1-f（x）=limx→1-x=1， limx→1+f（x）= limx→1+（x-1）=0，所以 limx→1f（x）不存在.

例2 設函數f（x）=|x|=-x，x<0，x，x≥0， 求 limx→0f（x）.

解 因 limx→0-f（x）= limx→0-（-x）=0， limx→0+f（x）=limx→0+x=0，所以 limx→0f（x）=0.

（二）一般一元函數求極限

1.有理整式函數直接代入法求極限

一般地，對于有理整式函數（多項式）f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，有 limx→x0f（x）=f（x0）.

例3 求 limx→2（x4-3x2-6）.

解 原式=24-3×22-6=-2.

2.有理分式函數求當x→x0時的極限

對于有理分式函數f（x）=S（x）T（x），S（x），T（x）均為多項式.（1）當 limx→x0T（x）=T（x0）≠0時， limx→x0S（x）T（x）=S（x0）T（x0）；（2）當 limx→x0S（x）=S（x0）≠0， limx→x0T（x）=T（x0）=0時， limx→x0S（x）T（x）=∞；（3）當 limx→x0S（x）=S（x0）=0， limx→x0T（x）=T（x0）=0時，在求“00”型極限時，先對分子、分母進行因式分解或其他恒等變形（如，分子或分母有理化、三角恒等變形等），消去零因子，再求極限.

例4 求 limx→12x+22x2+x+1.

解 原式=limx→1（2x+2）limx→1（2x2+x+1）=2×1+22×12+1+1=1.

例5 求 limx→1x-3x2-5x+4.

解 x=1時，分母=0，分子≠0，但因 limx→1x2-5x+4x-3=12-5·1+41-3=0，∴limx→1x-3x2-5x+4=∞.

例6 求 limx→12x2-x-13x2-2x-1.

解 原式= limx→1（x-1）（2x+1）（x-1）（3x+1）= limx→12x+13x+1

=2×1+13×1+1=34.

3.有理分式函數求當x→∞時的極限

一般地，對于有理分式函數

f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0，

求 limx→∞f（x）的方法：分子、分母同除以x的最高次冪.

結論： limx→∞f（x）=0，m>n，anbm，m=n，∞，m

例7 求 limx→+∞2x4+x2-13x5-4x+2.

解 原式= limx→+∞2x+1x3-1x53-4x4+2x5=0+0-03-0+0=0.

例8 求 limx→-∞2x3+x-13x3+x2.

解 原式= limx→-∞2+1x2-1x33+1x=2+0-03+0=23.

4.利用兩個重要極限公式求極限

利用兩個重要極限公式，即 limx→0sinxx=1和 limx→∞1+1xx=e，可得出兩個推導公式，即 limx→∞sinxx=0和 limt→0（1+t）1t=e，只要牢記兩個重要極限公式的本質，即 lim□→0sin□□=1和 lim□→∞1+1□□=e（其中□表示x的函數），則此類極限問題就可迎刃而解了.

例9 求 limx→0sin5xx.

解 limx→0sin5xx=5limx→0sin5x5x=5×1=5.

例10 求 limx→∞1+1xx2.

解 limx→∞1+1xx2=limx→∞1+1xx12

=limx→∞1+1xx12=e12.

5.利用函數的等價無窮小代換求極限

定義：設limX=0，limY=0，且Y≠0，若 limXY=1，則稱X與Y是等價無窮小量，記為X～Y.

定理：設在某一極限過程中，α～α′，β～β′，若limβ′α′=a（或為∞），則limβα=limβ′α′.定理告訴我們：在計算只含有乘、除法的極限時，無窮小量可以用其等價無窮小量替代.

常用的等階無窮小列舉如下：當x→0時，有sinx～x，arcsinx～x，tanx～x，arctanx～x，1-cosx～x22（這里的x可以換為□，其中□表示x的函數）.

例11 求 limx→0tan3xsin5x.

解 limx→0tan3xsin5x=limx→03x5x=35（因為tan3x～3x，sin5x～5x，所以可以替換）.

例12 求 limx→01-cosxx2.

解 limx→01-cosxx2=limx→012x2x2=12（因為1-cosx～x22）.

注意：如果在加減法中用等價無窮小量替代，則會產生錯誤，如，limx→0tanx-sinxx3=limx→0x-xx3=0.

6.利用洛必達法則求極限

對于“00”或“∞∞”型未定式求極限，用定理：

（1）limf（x）=limF（x）=0（或為∞）；（2）f（x）與F（x）在∪°（a）內（或|x|>N）可導且F′（x）≠0；（3） limf′（x）F′（x）存在（或為∞），則有 limf（x）F（x）=limf′（x）F′（x）.

例13 求 limx→0x-sinxx3.00

解 原式=limx→01-cosx3x2=limx→0sinx6x=16.

例14 求 limx→+∞lnxxn（n>0）.∞∞

解 原式=limx→+∞1xnxn-1=limx→+∞1nxn=0.

二、專升本真題分析

在我們的實際解題過程中，特別是專升本考試數學題目中，需要把幾種方法結合起來，綜合地應用，這就要求我們的思維要開闊，頭腦要靈活，下面舉幾道真題中的計算題實例說明.

例1 （2012年重慶市專升本）計算極限 limx→0x-sinxtan2x.

解 原式=limx→0x-sinxx2（此步驟用了函數的等價無窮小替換，即tanx～x）

=limx→01-cosx2x（此步驟用了洛必達法則）

=limx→0sinx2（此步驟繼續使用了洛必達法則）=0.

例2 （2015年成人高考專升本）計算 limx→1sin（x-1）x2-1.

解法一 原式=limx→1sin（x-1）（x+1）（x-1）（此步驟根據因式分解而來）

=limx→11x+1×limx→1sin（x-1）x-1（此步驟依據極限運算四則運算）

=12×1（此步驟依據兩個重要極限的第一個極限計算，即 lim□→0sin□□=1，此時“□”表示的是“x-1”）=12.

解法二 原式=limx→1x-1x2-1（此步驟應用了函數的等價無窮小替換，即當x→1時，sin（x-1）～（x-1））

=limx→11x+1（此步驟應用了因式分解求法）=12.

解法三 原式=limx→1cos（x-1）2x（此步驟用了洛必達法則計算）=12.

例3 （2016年重慶市專升本）求極限limx→0ex-cosxtan2x.

解 原式=limx→0ex-cosx2x（此步驟應用了函數的等價無窮小替換）

=limx→0ex+sinx2（此步驟用了洛必達法則計算）=12.

【參考文獻】

[1]易新友.高等數學[M].長沙：湖南師范大學出版社，2015.