貝葉斯公式的推廣

王彩琴

【摘要】貝葉斯公式是概率論中很重要的公式，在概率論的計算中起到很重要的作用.本文舉例說明了推廣后的公式在實際應用中所適用的概型比原來的公式更廣.從而使我們更好地了解到貝葉斯公式存在于我們生活的各個方面，貝葉斯公式在我們的日常生活中非常重要.

【關鍵詞】貝葉斯公式；概率；推廣

一、貝葉斯公式的應用

（一）貝葉斯公式在醫療診斷上的應用

例1 某地區肝癌的發病率為0.0 004，先用甲胎蛋白法進行普查.醫學研究表明，化驗結果是可能存在錯誤的.已知患有肝癌的人其化驗結果99%呈陽性（有?。?，而沒有患肝癌的人其化驗結果99.9%呈陰性（無病）.現某人的檢查結果呈陽性，問其真患肝癌的概率是多少？

解 記B為事件“被檢查者患有肝癌”，A為事件“檢查結果為陽性”，由題設知：

P（B）=0.0004，P（B）=0.9996，

P（A|B）=0.99，P（A|B）=0.001.

我們現在的目的是求P（B|A），由貝葉斯公式得

P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）

=0.0004×0.990.0004×0.99+0.9996×0.001=0.284.

這表明，在檢查結果呈陽性的人中，真患肝癌的人不到30%.進一步降低錯檢的概率是提高檢驗精度的關鍵，在實際中由于技術和操作等種種原因，降低錯檢的概率有時很困難的.所以，在實際中，常采用復查的方法來減少錯誤率，或用另一些簡單易行的輔助方法先進行初查，排除了大量明顯不是肝癌的人后，再用甲胎蛋白法對被懷疑的對象進行檢查，此時被懷疑的對象群體中，肝癌的發病率已大大提高了，譬如，對首次檢查的人群再進行復查，此時P（B）=0284，這時再用貝葉斯公式計算得

P（B|A）=0.284×0.990.284×0.99+0.716×0.001=0.997.

這就大大提高了甲胎蛋白法的準確率了.

（二）貝葉斯公式在市場預測中的應用

例2 為了幫助買舊車的人了解各種舊車的質量和性能，國外出版一種專門介紹各品牌舊車以及各年代不同車型各主要部件質量數據的舊車雜志.比如，有個買主想買某種型號的舊車，他從舊車雜志上可發現這種舊車平均有30%的傳動裝置有質量問題.除了從舊車雜志上尋找有關舊車質量的信息外，在舊車市場上買舊車時還需要有懂車的內行來幫忙.比如，可以找會修車的朋友幫忙開一開，檢查各主要部件的質量.因為舊車雜志上給出的是某種車輛質量的平均信息，就要買的某一輛車來講可能是好的傳動裝置，也可能會有問題.比較常見的方法是花一點錢請個汽車修理工幫忙開幾圈，請他幫助判斷一下傳動裝置和其他部件的質量.當然，盡管汽車修理工很有經驗，也難免有判斷不準的時候.假定從過去的記錄知道某個修理工對于傳動裝置有問題的車，其中90%他可以判斷出有問題，另有10%他發現不了其中的問題.對于傳動裝置沒問題的車，他的判斷也差不多同樣出色，其中80%的車他會判斷沒問題，另外的20%他會認為有問題，即發生判斷的錯誤.根據這些已知信息，請你幫助買主計算如下問題：

（1）若買主不雇用修理工，他買到一輛傳動裝置有問題的車的概率是多少？

（2）若買主花錢雇修理工幫他挑選和判斷，當修理工說該車“傳動裝置有問題”時，該車傳動裝置真有問題的概率是多少？

（3）當修理工說該車“傳動裝置沒問題”時，而該車傳動裝置真有問題的概率是多少？

解 第（1）問是簡單的，即有30%的可能性買到一輛傳動裝置有問題的舊車，我們在這里只利用舊車雜志的信息.

第（2）問和第（3）問是貝葉斯估計或者利用貝葉斯公式進行決策的問題.

（2）

我們不妨令：

A1=實際有問題，A2=實際沒問題，

B1=修理工判斷“有問題”，B2=修理工判斷“沒問題”.

則可將貝葉斯公式改寫成：

P（實際有問題|修理工判斷“有問題”）

=P（A1）P（B1|A1）P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B1|A2）.

根據已知條件，計算式中各項的概率分別為：

P（A1）=P（實際有問題）=0.3，

P（A2）=P（實際沒問題）=0.7，

P（B1|A1）=P（修理工判斷“有問題”|實際有問題）=0.9，

P（B1|A2）=P（修理工判斷“有問題”|實際沒問題）=0.2，

P（B2|A1）=P（修理工判斷“沒問題”|實際有問題）=0.1，

P（B2|A2）=P（修理工判斷“沒問題”|實際沒問題）=0.8，

代入上式

P（實際有問題|修理工判斷“有問題”）

=0.3×0.90.3×0.9+0.7×0.2=0.66.

這個結果表明，當修理工判斷某輛車的傳動裝置“有問題”時，實際有問題的概率為0.66，即修理工的判斷有問題使得真有問題的概率由0.3增長到0.66.

（3）P（實際有問題|修理工判斷“沒問題”）

=P（A1）P（B2|A1）P（A1）P（B2|A1）+P（A2）P（B2|A2）

=0.3×0.10.3×0.1+0.7×0.8=0.05.

這個結果表明，當修理工判斷某輛車的傳動裝置“沒問題”時，實際有問題的概率為0.05，即修理工的判斷沒問題而實際上有問題的概率由0.3下降到0.05.