“問題導學”在高等數學教學中的應用研究

彭國榮

【摘要】本文首先對“問題導學”相關概念界定，說明“問題導學”在高等數學教學中的重要性，給出了“問題導學”在高等數學教學中的經典實例，最后提出對“問題導學”的一些看法.

【關鍵詞】問題導學；教學；高等數學；教學模式

【基金項目】湖北省教育廳人文社會科學研究項目（16Y111）：問題導向教學在數學教學中的應用研究.

一、有關概念界定

（一）問題

談到“問題”，有人認為問題是“困惑”“障礙”、挑戰的“任務”“矛盾”等.以哲學觀點看，問題是形成主體對客體客觀世界的反映，問題的產生表明主體對一定世界的“無知”，但僅僅是這種“無知”還構不成問題，只有這種“無知”被主體所察覺，并力圖將這些“無知”反映為“已知”的時候，“問題”這才產生.本文所談的“問題”是指學生在學習過程中發現用已有知識和已有方法無法解決，而需要進一步進行探索、思考新的解決方法.

（二）問題導學

從教學理論的發展過程看，研究者們認為“問題導學”是根據新課程理念，應用問題教學法原理，構成一種課堂教學的模式，此模式下的課堂充滿生機與活力，與學生現階段的身心發展特點相適應，引導學生動腦動手，更有學習效率.從課堂的教學過程來看，“問題導學”是指以問題為學習主線，在自覺進行自主學習，發現生成問題的基礎上，師生開展探究的學習課堂.

二、“問題導學”在高等數學教學中的重要性

一個發現、探索、創造新的平臺，為教師提供一條培養學生解決數學問題能力、提高學生自控能力和應用數學解決實際問題能力的高效途徑.“問題導學”有助于幫助學生提高問題解決能力和創造能力.“問題導學”總是在一定的真實問題情境中進行，其有利于激發學生的學習興趣、激活學生的知識經驗，促使學生全身心地投入到教學活動中，有利于提高學生學習效果.問題解決的本質是思維構建，是學生從已知情境構造到未知情境的過程，是一種主動構建，在構建過程中需要學生對現有的知識經驗、方法、觀念進行加工改造，然后整合到已有知識結構中，最終使得認知結構得到豐富與擴大，因此，“問題導學”有利于培養學生的主體意識.

三、“問題導學”在高等數學教學中的應用

“問題”主要來源有：（1）教師以教材內容、教學目標、教學經驗為基礎預先設計問題；（2）學生在實際生活學習過程中生成問題；（3）教師為引導，激發學生解決問題或進一步拓展引申而提出問題.如何設計好問題是“問題導向”的關鍵，本文從激發學生學習興趣和培養學生邏輯思維兩方面說明“問題導學”在高等數學教學中的應用.

（一）“問題導學”能夠激發學生的好奇心，調動學生學習的積極主動性，培養學生的學習興趣

在講導數的概念的時候首先提出如下兩個問題：

問題1 高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：米）與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數關系h（t）=4.9t2-6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態？計算運動員在0～6549秒這段時間的平均速度，h6549=h（0）=10，v=ΔhΔt=0.

思考下面問題：

（1）運動員在這段時間里是靜止的嗎？（2）你認為用平均速度描述運動員的狀態有什么問題嗎？

學生發現在高臺跳水運動中，平均速度不能準確反映運動員在這段時間里運動狀態，需要引入一個新的概念，那就是瞬時速度，即物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.怎么計算瞬時速度？設描述質點運動位置的函數為s=f（t），則t0到t的平均速度為v=f（t）-f（t0）t-t0，而t0時刻的瞬時速度 v=limt-t0f（t）-f（t0）t-t0.

圖1

問題2 曲線切線斜率問題.在曲線y=f（x）上點M（x0，y0）處切線斜率與過該點割線的關系，切線斜率的計算.由圖1可知當N點和M點無限接近的時候，割線就變成了切線，從而切線的斜率是割線斜率的極限，即k=limx-x0f（x）-f（x0）x-x0.

由此可見，兩個問題有一個共同的特點，所求量為函數增量與自變量增量之比的極限，類似問題還有加速度、角速度、線速度、電流強度等問題，這些問題都屬于變化量的問題，這些問題都可以用我們即將所學的導數來解決.給出這兩個問題后再提出導數的概念，不僅僅讓學生容易理解導數的概念，而且激發學生的好奇心，使學生產生極高的學習興趣.

（二）“問題導學”能夠讓學生在學習過程中構建新舊知識的聯系，培養學生的邏輯思維能力

創設問題情境，新舊知識建立合理的聯系，引導學生發現問題、創造問題、勇于探索，培養學生強大的邏輯思維能力.在講微分中值定理的拉格朗日中值定理時，創設這樣的問題情境.

如果函數f（x）滿足：（1）在閉區間[a，b]上連續；（2）在開區間（a，b）內可導；（3）且兩端點的函數值相等，即 f（a）=f（b）.則滿足羅爾中值定理的條件，那么在開區間（a，b）內至少存在一點ξ，使得f′（ξ）=0.

羅爾中值定理的幾何意義如圖2，連續曲線弧AB，除去端點外處處都有不垂直于橫軸的切線，并且兩個端點的縱坐標相等，則曲線弧AB上至少存在一點C，使得過該點的切線平行于端點連線AB.

問題1 如果在圖2中，坐標軸不改變，圖形整體繞著某個方向旋轉一定角度，如圖3所示，在旋轉過程中，哪些發生改變.學生通過思考發現，圖形整體旋轉過程中，函數的連續性、可導性沒有改變，但是兩端點等高發生了改變，并且還發現，在旋轉過程中端點連線與某點切線的平行關系沒有改變.

問題2 旋轉后端點連線AB斜率是多少？結合羅爾中值定理說明圖3的幾何意義.根據A點坐標為（a，f（a）），B點坐標為（b，f（b）），易知端點連線AB斜率為f（b）-f（a）b-a.圖3的幾何意義是連續的曲線弧，除端點外每點都有不垂直于橫軸的切線，那么曲線AB上至少存在一點C，過該點的切線與端點連線AB平行.

通過討論這兩個問題，拉格朗日中值定理的條件和結論很自然地形成，最后用數學的語言表述如下：如果函數f（x）滿足：（1）在閉區間[a，b]上連續；（2）在開區間（a，b）內可導.那么在開區間（a，b）內至少存在一點ξ，使得f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

通過“問題導向”的過程，學生很容易在新舊知識之間建立起聯系，培養了學生較強的邏輯思維能力，與此同時，也增強了學生的自我成就感，增加了學生的自信心，提高了對高等數學的學習興趣.

四、結 論

“問題導學”是一種以學生現有知識和生活經驗為基礎，是構建主義學習理論思想的教學模式.問題引導是“問題導學”的首要環節.教師設計問題的好壞決定本節課的成敗.首先，教師在設計問題的時候要深入準確把握學生現有的基礎知識和學習能力.在教師提出問題后能夠讓學生在積極反思、分析、綜合等高層次思維活動中進一步理解升華已有知識.讓復習不單單是對學過基礎知識的簡單重述，而是重建原有知識結構的過程，并且在重建知識結構過程中能夠積極主動思考.其次，“問題導學”最好在復習相關的已有知識基礎上引入新知識，教師所提出的問題處于學生已知和未知的交界處，它是從已知到未知的橋梁，是學生學習新知識的內在動力.學生在教師的引導下通過探究回答問題達到教學目標.教師在設計問題時必須注意不能夠太簡單，因為提出的問題很大層次決定了學生思考和理解問題的深度，為了引發學生的學習興趣，激發學生思考探索答案，提高學生學習的主觀能動性，提出的問題盡量是學生平時不曾思考過的.

總的來說，“問題導學”教學設計主要由提出問題和圍繞基本觀念和概念探究問題本質的兩個步驟構成.這兩個步驟充分地體現了教師在教學過程中的引導作用和學生在教學過程中的主體性.學生在教師的引導下探究問題的本質，甚至進一步提出更有意義的問題.在“問題導學”過程中要求教師在教學過程中適當地保持開放性，為學生的思維留下一定的空間.教師在與學生的互動過程中，對學生的正確觀點要及時地肯定、加以表揚，對學生錯誤的不恰當的觀點要及時給予幫助、進行反思.在教學互動過程中，教師要不斷調整課前預設的課程以回應學生的觀點和假設，并且持續地評價學生的學習.