語境論視角下的案例式數學復習課教學

劉清昆++周麗峰

摘 要

數學概念的理解、問題的解決都需要在特定數學領域的語境中進行，不同的數學領域又有不同的言語體系。實踐中發現，案例式數學復習課在數學概念的語義闡釋、數學語言的句法分析、數學領域的語境表述、數學語義的轉化等方面具有獨特的效益。

關鍵詞

數學 案例式 復習課

數學語言是將數學的觀念概念化、數學思想外顯化的有力載體，是進行數學表達與數學交流的專門語言，具有“抽象性、準確性、簡約性和形式化”[1]等特點，這決定了對數學語言的理解與應用具有自身的特質。語境論視角下，學生習得數學語言的過程就是一個習得語形表征、內化語義解釋、生成語用能力的過程，其中的“語形表征、語義解釋及語用表述是數學語境的三個要素，語形表征研究數學符號之間的形式關聯，語義解釋研究數學符號的意義，語用表述研究認識主體、數學符號及其意義間的關系，語境是三者相互作用的統一體，并通過他們的有序結構呈現出認識主體與數學對象間的關系”。縱觀數學教學，數學復習課無疑是實現學生對數學語言深度認知的重要途徑，但現行的復習課要么是知識點的分塊分章節的細化梳理，要么是解題技能的反復性操練，根本性原因在于教師預設的復習課以實現學生應試技能的提升為目的，而非以實現學生自我數學語言能力的可持續發展為目的。基于此，我們在實踐中通過建構“案例式復習課”幫助學生獲得數學言語的語境解釋，提升數學核心素養。所謂案例式復習課，就是通過具有明確教學指向的數學問題案例建構學生間、師生間進行信息交互的學習環境，師生共同參與對案例的分析、討論、評價和尋找對策等工作，案例學習的過程也是學生獲得語形的系統認知、建構語義的自我闡釋、生成個性化語用能力的過程，其間師生協同學習是實現作為個體學生的認知發展和觀念建構、作為群體學生的集體思維形成和遞進的主要途徑。“數學語言在應用和理解方面，深層結構常重于表面內容、句法分析常先于語義理解”[1]，因此，案例式復習課主要聚焦于數學概念的語義闡釋、數學語言的句法分析、數學領域的語境表述、數學語義的轉化等方面。

一、語境論視角下案例式數學復習課的實踐樣式

1.以“數學概念的語義闡釋”為目的建構案例

數學概念是建構數學語言體系的基本詞匯、是數學思維的起點與節點，在數學語言的習得中占有重要的地位，“語境原則認為僅從詞本身不能了解詞的意義，必須從詞的使用中、從詞被使用時所處的語境中、從詞被使用時達到的目的中才能深入了解詞的本義”[3]。因此，數學概念僅靠文字層面的理解是不夠的，應對概念出現的語境進行更多的判斷與推理，并明晰上述判斷、推理蘊含的深層理由、依據，只有這樣我們才能說對概念的理解達到數學層面的理解。這類案例教學應建構能幫助學生實現對概念本質全方位認知的問題場景，使學生在問題解決中實現對概念的深層認知。

案例題組1 關于數學概念定義域的案例式教學

（1）求函數f（x）=lg（x2-x-2）的定義域。

（2）已知函數f（x）=的定義域為R，求實數a的取值范圍。

（3）已知函數f（x）=的值域為（-∞，），求函數的定義域。

（4）已知函數f（x）的定義域為[0，1]，求函數f（x-2）的定義域。

……

上述案例建構了數學詞匯“定義域”的不同生成場景，學生在不同語境中可通過問題的解決獲得定義域的意義理解。

2.以“數學語言的句法分析”為目的建構案例

數學語句（即命題）無疑是表達完整數學思想的具有一定語法特征的最基本的語言單位，根據數學言語的特質，“學生對其理解更多的是句法結構理解，直接深入到語言材料內部尋找關系、探明結構，再根據結構關系進行數學處理”[1]。如我們將數學函數劃分為簡單函數集？祝，復雜函數集？贅，？祝界定為高中數學教材所學初等函數包括指數函數、對數函數、三角函數等，？贅界定為由上述初等函數經四則運算、復合運算、數學變換等得到的函數，很多情況下對兩個集合？祝？壙？贅的轉換關系的分析成為問題解決的中心，而關系的分析只能靠句法分析。這類案例學習應該建構那些可以為學生揭示數學語言復雜句法結構的有意義題組，在相應的教學中對句法結構的深度分析優于問題的具體解決。

案例題組2 數學語言復合結構的案例式教學

（1）求函數f（x）=sin（2x-）的單調增區間。

（2）關于x的方程sin2x+asinx+1=0有實根，求實數a的取值范圍。

（3）求解不等式log2（4x2）·log2（2x）-8>0。

……

上述問題中，對復合結構代數式g[f（x）]構成方式的深度分析是制約問題解決的關鍵，通過案例題組的解決學生可以獲得對相關數學語句的分析能力。

3.以“數學領域的語境表述”為目的建構案例

“數學問題的解決要建立合適的數學系統，不同的數學領域是用不同形式的系統來表征的”[4]即數學語言在不同的領域有不同的語用約定、語形表征和語義解釋。如平面向量中我們用有序數對（x，y）來表征向量即a=（x，y），而解析幾何中有序數對只是表征點的坐標，可見數對的“語義解釋由語境中特定的語用目的、語用域面以及出現的語句的語形表征所共同決定”[2]。因此，在數學語言的學習中應幫助學生浸潤于相應數學領域所涉“語用約定、語形推演、語義解釋”的完整語境。這類案例教學旨在幫助學生認知某一特定領域內言語的特質，包括基本的語詞、句法、語義乃至思維慣習。

案例題組3平面向量語境的案例教學

（1）已知非零向量的a，b夾角為，且|b|=1，|b-2a|=1，則|a|_________。

（2）已知向量a=（1，x），b=（-1，x），若2a-b與b垂直，則|a|_________。

（3）已知等腰△ABC中，BC=2，AD=DC，AE= EB，若BD·AC=-，則CE·AB____________。

（4）設△ABC，P0是AB邊上一定點，滿足P0B=AB，且對邊AB上任意點P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，則（ ）。

A.∠ABC= B.∠B 住C=

C.AB=住C D.AC=BC

……

案例中問題（1）（2）幫助學生建構平面向量的語境，如符號約定（a，|a|，a·b…）、運算方式（代數運算體系、幾何運算體系）等；問題（3）（4）幫助學生生成平面向量言語的語用能力（坐標化、基底化等思維方式）。

4.以“數學語義的轉換”為目的構建案例

高中數學所涉數學語言具有模塊化的特征，不同模塊的數學語言在語形、語義上具有顯著的差異，在問題解決過程中的分析方式也有著顯著的差異，但有時不同領域問題的解決過程中，又可以通過適當的策略進行語境的轉換，如平面幾何、立體幾何分別是處理二維、三維問題，立體幾何問題可以通過選取截面的方式進行平面化處理。而對于同一個數學問題，分析的視角不同亦會導致問題所涉語境的變化，如關于x的方程x2+ax+1=0有實根，問題解決視角有：（1）看作二次方程根的分布類問題；（2）看作函數-a=x+的值域類問題，這種數學語境的轉換有利于幫助學生形成復雜化的知識網絡，溝通不同領域知識間的有意義聯系，簡化問題解決的路徑。這類案例教學旨在幫助學生形成在不同領域數學知識間轉化的能力，因而對問題的多角度省知優于問題具體解決策略的簡單呈現。

案例題組4 數學語義轉換的案例教學

（1）關于x的方程有實數根sin2x+asinx+1=0，求a的取值范圍。

（2）（2012浙江）已知a>0，b∈R，函數f（x）=4ax3-2bx-a+b。

證明：當0≤x≤1時，①函數f（x）的最大值為|2a+b|+a≥0； ②f（x）+|2a-b|+a≥0。

……

學生通過親歷對上述案例所涉問題的解決，可以體驗問題解決的繁、簡與問題解決所預設的語境間的關系，此類問題解決場景的不斷浸潤可以幫助學生生成數學語義轉換能力。

二、實踐的反思

學生數學語言能力的提升是一個系統工程，即使單一個數學概念的理解也不是一次課、兩次課就能解決的，這需要學生在有意義的學習環境中往復的體驗、感悟，案例式復習課無疑是一種有益的實踐探索，其建構了數學言語認知的強語境，可以幫助學生科學有效地提升自我數學言語能力。

1.數學學習要提升學生的綜合語言能力

數學語言學習應關注數學核心概念的理解教學以及數學領域知識系統的建構、應加強學生對數學語言句法分析能力的培養、應關注學生在問題解決過程中的語義轉換能力的持續積極變化。數學問題的解決過程中，數學語句的分析能力、語義轉換能力制約著學生對問題的適切轉換，進而影響到問題解決的繁簡。轉換為合適數學領域的數學表征只是問題解決的首要條件，接下來對問題涉及領域的數學概念的理解程度、數學推演的掌握程度、數學語義的自我闡釋力都影響著問題的完整解決。如問題“sin2x+asinx+1=0有實根，求a的取值范圍”可通過語義轉換化為問題（1）“t=sinx，t2+at+1=0，t∈[-1，1]有實根，求a 的取值范圍”或問題（2）“求函數a=-（sinx+） 的值域”，學生能否解決轉換后問題（1），（2）又取決于其對問題所涉知識領域“根的分布”、“復合函數值域”的認知程度。

2.案例式教學應注重案例的編制及深度省知

案例式教學應關注典型案例的精心編制以及作為學習主體—學生的協同學習、反思性學習的真實發生。有效的學習案例可以營造一個師生共同在場思辨、協同學習的場域，場域中不同個體思維的落差可以引發認知性沖突，上述認知性沖突消解的過程亦是學生個性化認知結構再造的過程，師生間針對案例所呈現問題的積極交互既是促使學生自我數學言語能力提升的主要途徑，又是消融因各種因素導致所謂學習知者與惑者共存現象的有力手段。另外，在案例式學習中應加強教師對案例編制隱形知識的明示，加強教師分析問題、建構自我認知思維的自我表露，加強對學生反思性學習的指導，教師既是學生反思性學習的示范者，又是學生反思性學習的指導者。如平面向量語境案例教學中，教師可向學生明示問題（1）（2）旨在幫助學生建構個性化的關于平面向量概念、運算體系的認知網絡，（3）（4）旨在幫助學生省知具體問題解決中如何選擇合適運算體系的緘默性知識，教師甚至可以暴露自我問題解決的思維過程，以幫助學生形成合理的省知習慣。

3.案例式教學中的知者、惑者可協同發展

案例式教學為真實課堂中實現“自然分材教學”提供了可能，所謂“自然分材教學就是教師讓學習內容隨學生學習力的差異自然分化，并指導學生研究和解決自己學習中存在的問題的教學理論與實踐形態”[5]。案例所呈現題組的異質性為不同學力學生提供了個性化思考的時空，學習過程中的協同式學習又為知者加速、惑者解惑提供了實現路徑，如知者可以在為惑者釋疑時實現對自我思維慣習、思維策略的深度省知，惑者解惑的同時亦從知者身上習得了問題解決中那些難于明言的緘默性知識，另外，教師學習案例隱性知識的明示、自我思維的表露又為學生個性化學習提供了豐富的素材。我們在實踐中還探討了用微課等技術手段在案例式教學過程中為差異化學力學生提供針對性指導，如誘思式微課可以幫助學生打開思維的視域，展思式微課可為學生釋疑解惑，反思式微課可以幫助學生深度省知自我[6]。

參考文獻

[1] 邵光華，劉明海.數學語言及其教學研究[J].課程·教材·教法，2005（2）.

[2] 劉杰.數學語境及其表征[J].科學技術哲學研究，2012（6）.

[3] 涂紀亮.語用學[J].遼寧大學學報，1989（2）.

[4] 郭貴春，康仕慧.當代數學哲學的語境選擇及其意義[J].哲學研究，2006（3）.

[5] 熊川武，邵博學.“自然分材教學”的理論與實踐探析[J].課程·教材·教法，2009（2）.

[6] 劉清昆.高中數學教材同步性微課的樣式與課堂整合[J].教學與管理，2016（16）.

【責任編輯 郭振玲】