探討數學知識在若干金融問題中的應用

佘致遠

【摘要】數學是現代金融理論與實踐的基礎，尤其是金融數學的形成，對我國現代金融事業發展起到了極大的推動作用。在金融學研究活動過程中，合理利用數學學科基本理論知識和處理技巧，將能有效解決金融領域的許多問題。文章主要探討數學知識在若干金融問題中的應用，旨在為推進數學知識在金融領域的應用提供參考。

【關鍵詞】數學知識 金融問題 金融數學

數學是一門基礎科學，也是一種思想方法，可以深入地揭示出事物發展的一些本質規律，同時具有嚴密邏輯性、高度抽象性以及廣泛的應用性。伴隨人類社會的不斷進步與信息科技的普及，現代數學也廣泛的滲透到社會科學中的各個領域，正在為科技發展提供強大動力。金融數學作為新興的數學和金融學相互交叉的學科，其主要特點是利用有效的數學工具方法揭示出金融學的本質特性和經濟運行的普遍規律，對有潛在風險的各個未定權益的合理定價和風險規避策略進行分析研究，以此來解決金融領域的問題。它的研究內容主要為關于在不確定條件下的證券組合選擇以及資產定價理論，這一理論中最重要的三個概念就是套利、最優和均衡。現如今，伴隨著金融市場的快速發展，金融學和數學之間的聯系越來越密切，數學理論和方法為金融學的發展提供了有力的工具，而現代金融學的發展也推動了數學某些分支的進步。

一、金融數學理論框架及研究的主要問題

在基本理論體系的建構形成中，金融數學學科最主要的就是引用并運用現代數學學科體系中非線性分析、鞅理論、數理統計、泛函分析、分形幾何、隨機分析、微分對策、隨機控制、數學規劃、倒向隨機微分方程等基本理論，和與之相關的應用性處理方式。金融數學學科重要的理論框架為：資本資產定價模型，套期保值理論，利率期限結構理論，套利定價理論，現代證券組合理論，期權定價理論等。以下幾個問題是金融領域的重點研究：一是不完備金融市場的風險控制理論與風險管理；二是利率衍生產品與利率的期限結構的定價理論等；三是不完備金融市場中有價證券（如期權、期貨等衍生工具）的資本資產定價模型消費理論與最優投資；四是怎樣組合投資證券才能減少投資風險或者獲得最大收益。此外，也有在證券價格的分析中運用了新的非線性分析工具，例如模式識別、小波分析、分形幾何以及混沌學等。有人在期貨市場創新的仿真研究中利用遺傳算法和模擬退火法，有人在股票種類和證券選擇的預測中運用人工智能方法、神經網絡方法等。

用數學知識來解決金融問題，已經成為了現代的金融理論重要的研究方向，但最優控制理論依舊是數學理論應用中最直接的辦法。金融理論發展到一定時期后才興起隨機最優控制理論，如果對隨機問題進行有效果的分析和處理，可以運用貝爾曼最優原理，聯合函數分析法、測度理論。

二、數學知識在某些金融問題中的運用

（一）數學知識在金融投資和收益中的運用

因為利率、匯率、商品價格以及股票價格的波動，一般被認為是金融投資活動中存在的風險，這項風險導致實際的投資活動中經濟收益偏離期望的收益值或者平均收益值。現代金融工程基本理論發展過程中的重要組成內容就是風險度量工作。常用的度量金融風險的數學方法有：確定性數學方法與非確定性數學方法。

1.確定性數學方法。確定性數學方法通過研究分析金融投資風險中的各項構成因素與評估指標，把這些因素與指標抽象成確定性的數學變量，先進一步將它們之間的相互關系抽象成數學函數式、數學模型或數學計算公式，再通過數學演算得出相應的數值結果。人們為了達到防范金融投資風險的目的，可以依據這些結果，度量與評估金融投資的風險，調整以及控制金融交易活動。在此之間，投資風險分析的常用指標是債券價格、債券收益率、股票價格以及股票指數。金融學研究員為了制定形成對現有金融活動實踐行為的一系列改良方案，選取和實施即將要進行的金融投資組合，提供充足的準備條件，需要經過對影響金融投資活動風險狀態的一些數學指標進行計算分析，實現對常見的金融活動風險的準確認知，并在這樣的基礎上完成對正在發展中的金融交易活動開展狀態的準確認知。

2.非確定性數學方法。產生風險的原因是各種不確定因素的影響，這是依據金融投資風險的概念得出來的。只利用確定性數學方法是不能夠準確地描述這些因素以及相互關系的。所以為了研究怎樣防范金融投資的風險，一定要應用非確定性數學方法如數理統計、概率論、隨機過程等。把投資人在實際開展金融投資活動中可能要遭受的經濟資金損失，和收益率轉化成隨機數學變量，再借助數理統計學科體系中的數學方差、期望以及標準差等統計數據計算處理方法，從而完成相對具體數據對象計算分析處理的這一項過程，是非確定性數學理論應用在控制金融投資活動風險方面，最突出的表現形式。從一次金融投資活動涉及兩項或者是多項投資產品對象的條件下，分析人員展開相對具體的數據度量處理活動，還需要引入與應用協方差、隨機向量以及相關系數等統計數學處理工具。

（二）數學方法在金融預測和決策中的運用

金融活動中，存在很多不確定的因素，決策者是否做出正確的判斷是由怎樣對未來的金融變量如保貼率、儲蓄存款余額、通脹率等進行預測決定的。在金融預測常用的數學方法有一次和二次移動平均法、最小二乘法、修正指數曲線法、一次和二次及三次指數平滑法、一元線性回歸法、卡爾曼濾波法、生長曲線預測法、三點法、兩步預測法、馬爾可夫預測法等。在金融決策常用的數學方法有最大產量組合法、極值選優決策法、期望值法、線性規劃決策法、邊際分析法、最小成本組合法、無差異曲線法等。

三、結語

綜上所述，伴隨著金融數學的不斷發展和進步，金融數學在經濟、金融等領域的應用也越來越廣泛。很多國際著名的金融數學家為此還發起成立了“金融學會”，來推動數學理論在金融學中的應用。不過，因為金融市場數學模型是把理性預期的假設為前提條件的，但實際中，短期內的預期甚至會傾向于投機的影響，所以金融市場的預期是非理性的；以市場均衡模式和線性數理方法為基礎，金融市場數學模型是在在新古典經濟學理論框架之中建立的；但實際上金融市場不均衡是絕對的，均衡是短暫的。此外，鑒于經過定量分析或數學模型方法所得到的結論是半經驗半理性的這種現象，實際價格和數學模型理論計算之間會存在一定的偏差，雖然對歷史數據擬合較好，但是對未來預測并沒有太高的成功率。但毋庸置疑的是，，數學理論研究的方法與結果，將在現在所有的理論框架基礎之上不斷豐富，從而使得數學模型可以提高在金融領域中的應用效果，也能更好地詮釋現實。

參考文獻

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