高等代數的“居高”與“臨下”

楊四香

【摘要】高等數學的代數是大學中極其重要的公選課部分，其對于學生的理性思維以及邏輯思維的培養有著重要的作用.就大學階段的高等代數而言，其長期以來都存在著十分嚴重的學、用脫節現象，這一現象導致了高校高等代數教學的諸多問題.基于此，本文從“居高”為“臨下”，“臨下”須“居高”兩方面展開了高等代數學用聯合的理論分析探討.

【關鍵詞】高等代數；學；用；“居高”；“臨下”

高等數學課程屬于高校數學類專業中的基礎課程，同時也是其他專業重要的公選課程，其巨大的作用不僅僅表現在眾多科學技術中的應用上，同時也是引導學生進入現代數學的階梯，因此，探究高等代數具有重要的意義.目前，我國大多數高校在高等代數的開展內容上都和中學的數學存在諸多聯系，但是就高等代數的形式進行觀察，其屬于一種形式化和抽象化程度極高的學科，因此，在中學數學的應用中，并不能呈現出螺旋式的高度貼合應用，更有可能的是一種階梯式的使用[1].也正是這一特性，導致了高等代數和中學階段的數學出現了嚴重的脫節，很多學生在學習高等代數的過程中難以從中學階段已經學到的知識體系中找到基礎，因此，在學習的效果上難以保障，同時也因為在大學階段的高等代數學習僅僅是為了學習而學習，在學和用上存在嚴重的脫節，也導致了很多學生在高等代數的學習上動力不足，存在著混個及格即可的思想.在此背景下，本文圍繞高校高等代數為中心，從“居高”“臨下”兩個方面和中學數學進行聯系展開了細致的分析研討，旨在提供一些高等代數方面的理論參考，以下是具體內容.

一、“居高”為“臨下”

（一）發揮覆蓋功能，關注課表課程

要實現高等代數的“臨下”，首先必須保障自身的“居高”，而要“居高”首先就必須對中學數學的課表有一個清晰的認識，進而在這個認識之上，再在高等代數的知識體系中找出可以“臨下”的知識點.目前我國的大多數中學都已經實現了新課標的實施，雖然在中學課標中涉及高等代數的部分很少，但是高等代數可以應用到中學課標的地方卻很多[2].因此，在高等代數“臨下”過程中可以以高等代數的學習內容為基礎，向下對中學數學的對應課程內容給予覆蓋，這對于提升中學生的中學數學水平是有極大裨益的.

（二）發揮背景功能，關注命題研究

就大學階段學習的高等代數而言，其在內容設置上屬于多層抽象后的知識體系，相較之與實際生活有諸多聯系的中學數學好像離得很遠，但是當我們進行進一步的觀察時卻可以清晰地發現，高等代數在其本質上是背景的形成以及理論的深化，因此，就中學階段的數學而言，在一些題目中是很容易找到一些理論或者背景便是高等代數的.就實際情況觀察，就近幾年的高考題以及競賽題而言，很多地方自命題的省份都已經對高等代數有所涉及[3].以下以一道實際的題目進行講解.

（三）發揮實用功能，關注解題指導

在實現高等代數“居高”而“臨下”的過程中，其也表現在對一些中學數學問題的實際應用上，通過高等代數的應用其中，可實現很多難、繁的中學數學問題簡單化和清晰化，具體而言，目前在中學數學中，高等代數應用其中主要有柯西-布涅柯夫斯基不等式的應用、行列式性質的應用、矩陣基礎的應用以及二次型理論的應用幾種[4].以下以一道行列式簡易化解題詳細講解.

例2已知a，b，c均為實數，同時-4（a-b）+（b-c）+（c-a）2=0，求證a，b，c三者呈一等差數列.

在中學的知識范疇內進行該題的解答時，需要從等式的實根入手，并且借助實根，再使用實根和系數之間的關系，進行式子的分析，得出b-c1a-b=1，最后求出a，b，c三者呈一等差數列.該種解題的方式極其復雜，需要學生對數學式子的變形掌握水平極高，而在變形的過程中還極易出現錯誤.然而，使用高等代數中的行列式性質為解題角度就可以實現輕松解題.

二、“臨下”須“居高”

通過上文的分析已經可以清晰地認識到高等代數在“臨下”上的解題途徑，對于學生而言，對高等代數的作用便已經有了一個十分清晰的認知，因此，在“臨下”的基礎上就需要以現有的高校高等代數為基礎，給予“居高”.當然如何實現高等代數的“居高”也是一個需要思考的問題.因此，我們需要對“居高”的要求有所了解，在對“居高”進行理解時，也可以聯系中學數學的“臨下”進行聯合考慮，通過中學數學中已經出現的諸多應用模式，來進一步對高等代數進行“居高”的思考，以下具體對可以“居高”部分進行羅列.

在中學數學中四則運算依托于高等代數的充分拓展，因此，在此基礎上也可以基于高等代數進行多項式最大公因式理論以及整除理論的探討[5].

在中學數學中的分式分解法在高等代數中也得到了一定的延伸，在此基礎上我們再進一步延伸，使用不可約的多項式對不可分解的含義進行解釋，并對不可約多項式、唯一分解定理以及多項式性質進行數域上的劃分.

在高等代數中，二元一次函數以及三元一次函數方程組均得到了很大的拓展，我們可以以此為基礎，進一步進行擴展，在高等代數中對線性方程組的矩陣消元解法以及行列式解法進而剖析，對線性方程組解進行判定，并且對不同解之間的關系進行探究[6].

中學數學高中階段的幾何中夾角以及向量之間的關系，在高等代數中的歐式空間模型中得到了證明和進一步分析，而三角不等式又可以進一步為高等代數中的歐式兩點間具體性質證明提供模型.

在對高等代數進行“居高”時，也需要注意中學知識中對高等代數應用的進一步提升和延伸，可以對中學數學中的諸多定理進行理論上的解釋，這一點對高等代數的“居高”具有重大的現實意義，也是本文展開研究的主要目的之一.

三、結束語

綜上所述，本文主要對高等代數的學、用結合展開了細致的分析，提出了“居高”為“臨下”的觀點，并且以“發揮覆蓋功能，關注課表課程”“發揮背景功能，關注命題研究”“發揮實用功能，關注解題指導”三部分展開了細致的分析；同時，在中學數學方面以實際的題目對中學數學中柯西-布涅柯夫斯基不等式的應用、中學數學解題中行列式性質的應用、矩陣基礎的應用以及二次型理論的應用展開了分析；最后，又對高等代數的進一步“居高”為“臨下”進行了分析.希望通過本文能讓廣大的學生及教師對高等代數的“居高”與“臨下”部分有一個清晰的認知，進一步增加高等代數的實用性.

【參考文獻】

[1]李曉東.高等代數課程考核方式改革的探索與實踐[J].黑龍江高教研究，2015，12（4）：153-155.

[2]李瀏蘭，周立君，歐陽夢倩，等.高等代數在抽象代數教學中的應用[J].湖南師范大學自然科學學報，2015，38（3）：91-94.

[3]張四保.融數學建模思想于高等代數課堂教學之探索[J].首都師范大學學報（自然科學版），2015，36（4）：8-11，24.

[4]劉熠，鐘純真.地方高師院校《高等代數》課程教學內容優化研究[J].高教學刊，2016，04（8）：65-66.

[5]楊春花.淺析科研在教學中的作用——以高等代數教學為例[J].曲阜師范大學學報（自然科學版），2015，41（4）：114-116.

[6]張紅，向緒言.地方高校高等代數課程研究性教學的探索與實踐[J].科技展望，2015，25（34）：173-175.