基于空間雙曲交會的GNSS偽距單點定位算法

王 琰，張傳定，車通宇

(1．信息工程大學 地理空間信息學院，河南 鄭州 450052；2．北京衛星導航中心，北京 100094)

基于空間雙曲交會的GNSS偽距單點定位算法

王 琰1,2，張傳定2，車通宇1

(1．信息工程大學 地理空間信息學院，河南 鄭州 450052；2．北京衛星導航中心，北京 100094)

針對GNSS衛星導航中的偽距單點定位，提出一種不需要測站坐標近似值的非迭代算法。該算法將GNSS偽距導航定位方程轉化為空間雙曲定位方程，給出具體的解算步驟，研究了空間雙曲定位方程的解(有兩解)，利用GNSS偽距導航定位的特點可消除多值性，從而實現無初值GNSS偽距單點定位。該算法與Bancroft算法相比，通過星間單差，與測站有關的公共誤差項被消去，提高了定位精度；與傳統的迭代算法相比，提高了計算效率，而且不需要測站坐標初值。最后通過IGS監測站實測數據對3種算法進行比較，驗證了算法的有效性。

GNSS偽距導航;單點定位;空間雙曲定位

GNSS偽距導航定位是任何型號GNSS接收機所必須具備的基本功能之一。當前解算單站接收機位置，常用的算法是基于傳統的泰勒級數展開，將觀測方程線性化后，組建法方程，通過不斷迭代，參數收斂后獲得最終的接收機位置。傳統算法若不知道接收機位置的近似值，迭代搜索的收斂速度有時候較慢。該算法不可避免的問題是法方程求逆，因此該算法一般耗時較長[1-2]。對于地面連續運行監測站的近似坐標可以較為精確地獲取，但是對于動態的測站，例如LEO，一般很難精確地知道其近似坐標，因此，研究無初值GNSS偽距快速導航定位有重要意義。

1985年Bancroft提出一種稱為“閉合求解”的全局性非線性最小二乘算法(Bancroft算法)[3-4]，這是一種不需要迭代、具有代數解析性的直接解算方法，在計算上有效且數值穩定。該算法不需要點位位置作為迭代演算的初始值，主要依據R4維空間下的一種Lorentz內積，將原始偽距觀測方程轉化為一個一元二次方程求解問題。但是Bancroft算法存在問題，由于無法知道測站坐標的初值，因而與坐標有關的各種改正(對流層，相對論效應等)無法準確改正，因此，Bancroft算法最終組建的一元二次方程的系數會有誤差，最終解算的測站位置誤差較大。

國內外對于GNSS偽距單點定位的算法進行了詳細研究。呂漢峰針對偽距單點定位解算中存在的兩種定位模型的最小二乘解,給出了它們關于位置估計和定位精度等價性的推證過程。描述了偽距單點定位所采用的基本定位模型和單差定位模型，依據偽距觀測值精度和單差基準分3種情況分別證明了兩種模型的位置最小二乘解和定位精度是等價的[5]。吳傳利用幾何方法，給出了二維、三維測距定位問題解的解析表達式，在此解析解的基礎上對GPS測碼偽距定位問題提出一種趨近計算方法，并討論了其收斂性[6]。Lloyd O.Krause提出了一種計算中矩陣最高階2×2的非線性GPS導航定位方程[7]。P.S.NOE提出了一種適用于低成本GPS接收機的導航算法并進行了數據驗證[8]。Abel J S驗證了GPS偽距導航定位中模糊度無法固定的幾種特殊情況下的算法[9]。Kleusberg A提出了在GPS偽距導航定位中的一種不需要線性化的直接解法并驗證了單解、多解等多種特例[10]。廖華對線性最小二乘法、非線性最小二乘法、格網搜索法、kleus法等GPS偽距單點定位算法的基本原理及程序實現步驟進行了闡述,并從算法的可靠性、準確性及作業效率等方面進行了比較[11]。李鶴峰等以GPS為例，詳細介紹偽距單點定位原理及解算模型,并給出了偽距單點定位程序實現中的關鍵點和易于出錯之處的詳細解決思路[12]。Oszczak B分析了GNSS標準定位中解算坐標和接收機鐘差的基本原則、計算方程和矩陣偏微分算法，并進行了仿真的數值分析[13]。

大部分學者目前只是針對已有的算法進行程序實現或者性能比較，本文利用空間雙曲交會定位原理提出一種新的算法，取一顆基準星，其他星的觀測量與參考星組單差，一些與測站有關的誤差項被消去，然后利用空間解析幾何關系，將星間單差觀測方程轉換為空間雙曲定位方程，詳細推導了該算法的計算公式，并通過IGS監測站靜態實測數據檢驗了算法的有效性。

1 GNSS偽距導航原理

如式(1)所示，GNSS偽距測量的基本觀測方程為

(1)

圖1 GNSS偽距導航原理

眾所周知，在無線電導航和定位中，有兩種主要的方法：距離定位和距離差定位。有時把它們稱為圓定位和雙曲定位。從方程(1)可以看出，GNSS偽距導航在消除鐘差dti后，將構成空間雙曲定位方程。目前，平面、球面和橢球面雙曲定位已有比較成熟的解法，而對于空間雙曲定位僅限于特殊圖形的解法[1]。因而，盡管可由空間雙曲定位無初值解算測站點的地心坐標，但由于GNSS偽距導航圖形分布的任意性，仍需研究任意圖形下空間雙曲定位的解算方法。

2 空間雙曲定位解算

若選用S1為參考星，則消除鐘差dti后，得方程組

(2)

其中符號的意義與式(1)一致。該方程組的左端隱含了測站i位置，右端為測站i到衛星j的距離差，最終構成空間雙曲定位方程

(3)

下面利用余弦定理和解析幾何知識，研究方程組(2)的解。在三角形Δj1i中，由余弦定理得

(4)

式中

(5)

是第j顆衛星到參考星的距離，可由衛星的坐標計算得出。將式(4)化簡得

(6)

再由解析幾何知識可以寫出

(7)

將式(7)代入式(6)，并寫成矩陣的形式，有

(8)

式中:

式(8)兩邊左乘AT，得

(9)

令N=ATA,U′=ATU,W′=ATW。

(10)

從而有

(11)

式中：

由一元二次方程根與系數的關系得

(12)

(13)

由上式所求得的解有兩個，這是由雙曲定位方程所決定的。在實際工作中，必須舍棄一個不符實際意義的解。對于海洋無線電定位而言，可用測站的近似高程來判斷。對于GNSS偽距導航定位而言，符合實際意義的解可由鐘差的范圍或測站的近似向徑來做出判斷。但最佳的判斷方案應為：若同時觀測到4顆以上的衛星，則可以選取不同的基準星，可以得到兩組或兩組以上的解，再根據GNSS導航的精度，即可比較得出正確的解。若僅能觀測到4顆衛星，則利用相臨歷元的兩組解，也可比較得出正確的解(每組解中，正確的解隨時間變化較小，不符實際意義的解隨時間和衛星的運動變化較大)。

3 GNSS偽距導航無初值解算

由GNSS偽距觀測量，選擇適當的參考星，組成單差偽距觀測量，即距離差觀測量。依據星歷文件計算觀測時刻衛星的位置，并按式(5)到式(13)求出測站的可能解，按第2節所述的方法選取正確的解，從而確定出測站坐標的近似坐標和近似鐘差。

為了驗證本文算法的有效性，收集了2014年年積日072天IGS監測站AIRA站的數據進行試驗，該測站位于日本北緯31.82°，東經130.6°，搭載TRIMBLE NETR9型接收機，天線類型是TRM59800.00 SCIS，能夠同時接收GPS/GLONASS/QZSS三大系統的信號，采樣間隔30 s，為了便于試驗說明，僅采用GPS單系統的數據，圖2顯示了AIRA站在1～1 500歷元接收到的GPS衛星個數和GDOP情況。從圖2中可以看出該測站能觀測到的衛星個數平均為8顆，而且不少于6顆，完全可以通過選取不同衛星的組合來判斷雙曲定位方程兩個根的取舍。

圖2 AIRA站1～1 500歷元觀測到的衛星個數和GDOP

分別采用3種算法進行定位試驗，以下試驗在ThinkPad T440p (CPU:Intel Core i7,主頻:2.50 GHz,內存8 GB)筆記本計算機進行，其中傳統的迭代算法在本文中設定迭代3次，3種算法的計算時間比較結果見表 1。

表1 3種算法的計算時間 s

3種算法的定位結果比較如圖3～圖5所示。

圖3 Bancroft算法定位結果

3種算法的均值和RMS比較結果如表2所示，從結果可以明顯看出，Bancroft算法的定位結果是最差的，本文提出的算法與傳統的迭代算法的定位精度相當，但是達到同樣的精度，計算效率卻提高了約3.5倍。

圖4 空間雙曲定位算法定位結果

圖5 傳統迭代算法定位結果

項目XYZMEANRMSMEANRMSMEANRMSBancroft-41.656108.79311.097119.93222.78196.080雙曲定位算法-30.73438.5072.10916.55715.75021.450迭代算法-1.9042.0651.0451.1911.3341.367

4 結 論

本文研究表明：不需要測站和衛星鐘與接收機鐘的鐘差近似值,也可由空間雙曲定位方程實現GNSS偽距導航解算。實測數據解算結果表明，本文提出的雙曲定位算法最終定位精度比Bancroft算法的定位精度高，與傳統的迭代算法定位精度相近，效率卻提高了3.5倍。但該方法有兩解，即二值性。消除二值性的方法有：

若僅有一個歷元的4顆衛星的偽距觀測值，則可按鐘差的有效范圍來判斷，消除二值性；也可按測站的近似向徑(地面站的近似向徑為地球的平均半徑)來判斷，消除二值性。

若同時觀測到4顆以上的衛星的偽距觀測值，可以選取不同的基準星，得到兩組或兩組以上的解，再根據GNSS導航的精度，即可比較得出正確的解。

若觀測到4顆衛星多個歷元的偽距觀測值，則利用相臨歷元的兩組的解，也可比較得出正確的解(每組解中，正確的解隨時間變化較小，不符實際意義的解隨時間和衛星的運動變化較大，通常表現為地心向徑較大)。

本文所提出的解算方法，僅為提供GNSS偽距導航的初值時使用。

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[12] 李鶴峰,黨亞民，王世進，等.GPS偽距單點定位程序實現若干問題[J].全球定位系統,2013,38(2):33-37.

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[責任編輯：劉文霞]

GNSS pseudo-range single point positioning algorithm based on space hyperbolic intersection

WANG Yan1,2,ZHANG Chuanding2,CHE Tongyu1

(1.School of Surveying and Mapping,Information Engineering University,Zhengzhou 450052,China;2.Beijing Global Information Application and Development Center,Beijing 100094,China)

A non-iterative algorithm is proposed, which does not require initial approximate value of the receiver’s position for GNSS pseudo-range single point positioning.In this algorithm,the GNSS pseudo-range positioning equation is transformed into space hyperbolic equation.The steps of calculation are discussed in this paper.The solutions of the space hyperbolic equation are analyzed.The characteristics of GNSS pseudo-range navigation and positioning can be used to judge the true value.Because all the common errors can be eliminated through the single differences between satellites,the accuracy of this algorithm is better than that of Bancroft algorithm.Compared with the iterative algorithm,the computational efficiency of this algorithm is improved and needs no initial approximate value of the receiver’s position.This algorithm proves to be effective through the IGS measurement data processing.

GNSS pseudo-range navigation;single point positioning;space hyperbolic positioning

著錄：王琰，張傳定，車通宇.基于空間雙曲交會的GNSS偽距單點定位算法[J].測繪工程，2017，26(7)：16-21.

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2017.07.004

2016-07-10

國家自然科學基金資助項目(41374038,41174026)

王 琰(1990-)，男，博士研究生.

P228

A

1006-7949(2017)07-0016-06