圓錐直觀圖畫法依據探討

在中學數學教學中，作為空間幾何體的主要基本載體之一——圓錐，它的直觀圖畫法一直困擾著大家.大家熟知的斜二測圓錐（如圖1所示），總有點說不出的別扭，而“生活經驗告訴我們”的圓錐（見圖2），卻又缺少畫法依據.

圖1 斜二測圓錐

圖2 生活經驗告訴我們的圓錐

圖2中圓錐的底面是我們生活中看到的、也是我們需要的結果，但是憑借正等測或斜二測畫法卻無法得到我們期望的結果.這里我們引入T平行投影方法來解決這一個問題（所謂T平行投影，其實就是遵從最原始的、直視物體方向的平行投影）.

T平行投影方向[1]：設平行投影線與x軸、y軸、z軸的夾角依次為α，90°，90°-α（α為銳角），則稱這種投影方向為T平行投影方向，如圖3所示.

圖3 T平行投影方向

為了說明問題，再回顧一下軸向伸縮系數的定義.

軸向伸縮系數：軸測軸的單位長度與相應直角坐標軸的單位長度的比值，叫作軸向伸縮系數，它的幾何意義如圖4、圖5所示.

圖4 斜二測軸測軸單位長度

（作直觀圖時量取的長度）

圖5 斜二測相應直角坐標軸

單位長度（計算用坐標數據）

不難驗證下列結論.

結論一：在T平行投影時，直觀圖上軸測軸方向的線段長度也就是我們直接看到的、投影面上的線段長度（如圖3中的AC）.所以，圖3中x軸的軸向伸縮系數=ACAB=sinα.（AC就是AB在平行投影線法平面上的射影，而AB正是在相應直角坐標系中占有的計算長度）

結論二：在T平行投影方向下，這三個坐標軸的伸縮系數依次為sinα，sin90°，sin（90°-α），即sinα，1，cosα.

對圓錐進行T平行投影時，圓錐底面在視線法平面上的射影就是圓錐直觀圖中的底面橢圓，如圖6所示.設圓錐直觀圖中的橢圓半短軸為b，半長軸為a，半焦距為c，見圖7.且對于圖7中的角α′，cosα′=ca=底面橢圓的離心率.

圖6

圖7

關于T平行投影方向的推論：圓錐直觀圖的縱向伸縮系數等于圓錐底面橢圓的離心率.

證明 由結論一，sinα=2b2a=ba=sinα′，α=α′，見圖7.

由結論二，z軸的軸向伸縮系數=cosα，又α=α′，所以z軸的軸向伸縮系數=cosα′，而cosα′=ca=底面橢圓的離心率，因此，z軸的軸向伸縮系數等于圓錐底面橢圓的離心率.通俗地講，圓錐縱向伸縮系數等于橢圓離心率.

證畢.

結論在圓錐直觀圖畫法中的意義：

1.我們需要的圓錐直觀圖可以從T平行投影得到.

下面對高等于底面直徑的圓錐，用不同的底面橢圓離心率畫出的圓錐直觀圖比較如下.

圖8圖9圖10

圖8為縱向伸縮系數等于1的情形，由推論，c=1，從而底面橢圓退化為直線段；

圖9為橢圓短軸等于15長軸時，縱向伸縮系數約等于0.98，直觀性較好，比較有利于教學活動，它也是我們期望的結果；

圖10橢圓為正等測橢圓，其離心率約等于0.82，它的縱向伸縮系數也約等于0.82，無論是畫軸截面還是縱向尺寸的理解，對學生空間想象力的培養都是不利的.

從教學畫圖的方便性考慮，橢圓短軸等于15長軸是值得推薦的.

圖11

2.如果要畫的圓錐的高相對于底面直徑很小，為了展示其真實比例（所謂真實比例，就是縱向伸縮系數接近于1），那么底面橢圓的離心率也必須接近于1，即這個橢圓要畫得很扁，如圖11所示.

“圓錐縱向伸縮系數等于橢圓離心率”，結論很好記，應用很方便.

【參考文獻】

[1]唐文虎.再論“球體直觀圖的尺規畫法與球體直觀圖北極點位置定理”[J].上海中學數學，2016（9）：34.