解析“哥德巴赫猜想”方法綜述

申學勤 王若仲（王洪） 彭曉 譚謨玉 徐武方 王波 王江齡　劉鵬

【摘要】對于“哥德巴赫猜想”，通過我們研究團隊共同討論，最終得出了解決“哥德巴赫猜想”的一種思路.其中主要是利用篩法公式Y=m（1-d1÷p1）（1-d2÷p2）（1-d3÷p3）…（1-dt-1÷pt-1）（1-dt÷pt），其中di=1或2（i=1，2，3，…，t），m為任意給定的一個比較大的正整數（m≥3）；p1，p2，p3，…，pt均為不大于2m的全體奇素數（pi

【關鍵詞】哥德巴赫猜想；奇素數；奇合數；順篩；順軸；逆軸

德國數學家哥德巴赫于1742年提出“哥德巴赫猜想”，即任一不小于6的偶數均可表示為兩個奇素數之和.“哥德巴赫猜想”歷史上的研究方法，比較有名的大致有下面四種：（1）篩法；（2）圓法；（3）密率法；（4）三角求和法.其中，篩法是求不超過自然數N（N>1）的所有素數的一種方法，2m=a+b，a=p1p2p3…pi，b=q1q2q3…qj，篩法的基本出發點，即加權篩法；圓法是三角和（指數和）估計方法；密率法（概率法）是函數估值法.“哥德巴赫猜想”至今沒有徹底解決.

思路綜述：

一、首先定義奇合數，定義順篩，定義順軸，定義逆軸

奇合數就是既是奇數又是合數的正整數.例如，15，21，35，49等等這樣的一些奇數稱為奇合數.

因為對于任一比較大的正整數M，設奇素數p1，p2，p3，…，pt均為不大于M的全體奇素數（pi

順篩就是二千多年前的埃拉托斯特尼篩法.埃拉托斯特尼篩法可以用來尋找一定范圍內的素數（比如，m這個數，m這個數不是太大）.操作的程序是先將第一個數2留下，將它的倍數全部畫掉；再將剩余數中最小的3留下，將它的倍數全部畫掉；繼續將剩余數中最小的5留下，將它的倍數全部畫掉，……，如此直到沒有可畫的數為止.

順軸就是一條帶有箭頭符號且方向向右的數軸.逆軸就是一條帶有箭頭符號且方向向左的數軸.

二、對于任一比較大的偶數2m，利用順軸和逆軸構建一個篩選數學模型

因為偶數2m=1+（2m-1）=3+（2m-3）=5+（2m-5）=…=（2m-5）+5=（2m-3）+3=（2m-1）+1，可以把偶數2m看成是由一條順軸與一條逆軸平行且呈軸對稱的一個平面圖形的數學模型.

比如，32=1+31=3+29=5+27=7+25=9+23=11+21=13+19=15+17=17+15=19+13=21+11=23+9=25+7=27+5=29+3=31+1.

三、對于任一比較大的偶數2m，利用偶數2m對應的篩選數學模型，怎樣進行篩選

現在利用偶數32來說明這種數學模型的篩選思路：

對于偶數32，從“奇數+奇數”的情形來分析，把偶數32當作16對.

對于偶數32=1+31=3+29=5+27=7+25=9+23=11+21=13+19=15+17=17+15=19+3=31+1.

第一步，在順軸上篩除3的奇數倍（3除外），因為篩除的情形針對的是成雙成對，所以在逆軸上對應的奇數也得跟著篩除，可得32=1+31=3+29=5+27=7+25=11+21=13+19=17+15=19+13=23+9=25+7=29+3=31+1；

第二步，在逆軸上篩除3的奇數倍（3除外），同理在順軸上對應的奇數也得跟著篩除，可得32=1+31=3+29=7+25=13+19=19+13=25+7=29+3=31+1；

第三步，在順軸上篩除5的奇數倍（5除外），同理在逆軸上對應的奇數也得跟著篩除，可得32=1+31=3+29=7+25=13+19=19+13=29+3=31+1；

第四步，在逆軸上篩除5的奇數倍（5除外），同理在順軸上對應的奇數也得跟著篩除，可得32=1+31=3+29=13+19=19+13=29+3=31+1；

最后，篩除1和31，可得32=3+29=13+19=19+13=29+3.

為什么在順軸上不再篩除7的奇數倍（7除外），11的奇數倍（11除外），13的奇數倍（13除外），17的奇數倍（17除外），19的奇數倍（19除外），23的奇數倍（23除外），29的奇數倍（29除外），31的奇數倍（31除外）呢？在逆軸上不再篩除7的奇數倍（7除外），11的奇數倍（11除外），13的奇數倍（13除外），17的奇數倍（17除外），19的奇數倍（19除外），23的奇數倍（23除外），29的奇數倍（29除外），31的奇數倍（31除外）呢？因為32<7，所以利用奇素數3和奇素數5就能夠把32以內“奇合數+奇合數=32”和“奇合數+奇素數=32”的情形全部篩除了.

四、對于任一比較大的偶數2m，怎樣利用偶數2m對應的篩選數學模型，進行一般化的篩選.也就是歸納篩選的規律

對于正實數x，符號〔x〕記為不大于x的最大正整數.

“哥德巴赫猜想”針對的是不小于6的全體偶數，問題是很大很大的偶數仍然可以表示為“奇素數+奇素數”嗎？在數學理論上通常是利用極限的情形來解決無窮的問題.所以，為了解決無窮大的情形，必須從極限這一根本點著手.在無窮多偶數中，只需設定某一相當大的偶數滿足篩出的最大化（也就是篩出的極限情形），只要證明了極限的情形成立，其他情形顯然成立.

為了解決無窮的問題，假定有一個非常大的偶數2m，設奇素數p1，p2，p3，…，pt均為不大于2m的全體奇素數（pi

設集合A={1，3，5，7，9，…，（2m-3），（2m-1）}，也就是偶數2m對應集合A，又設集合A1={p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}，集合A2={p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}，集合A3={p3，3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}，…，集合At={pt，3pt，5pt，7pt，9pt，…，（2mt-1）pt}；其中奇數（2m1-1）p1為該集合中的表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，奇數（2m2-1）p2為該集合中的表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，奇數（2m3-1）p3為該集合中的表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，…，奇數（2mt-1-1）pt-1為該集合中的表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，奇數（2mt-1）pt為該集合中的表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數.

根據偶數2m對應的篩選數學模型，可得極限篩法公式

【參考文獻】

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