高斯整數環其商環元素個數

賈麗媛

【摘要】設Z表示整數環，i表示虛單位（i=-1） Z[i]為所有形如a+bi，（a，b∈Z）的復數組成的集合，稱為高斯整數環.高斯整數環中的元素稱為高斯整數.在王芳貴的《關于高斯整數環的商環的元素個數的注記》中已經用代數方法證明出|Z[i]/（m+ni）|=m2+n2.本文將用幾何方法給出這一結論的證明.注意，對于m=0（或n=0）的情況，證明方法同可證.所以，本文只給出m≠0，n≠0的證明.以下我們用|A|表示A種元素的個數.

【關鍵詞】高斯整數環；商環；理想

一、緒 論

（一）記號：Z[i]={a+bi|a，b∈Z，i2=-1}，Z[i]對普通加法和乘法構成一個環，稱為高斯整數環.

（二）定義：（1）若環R的非空子集I滿足條件：① I是一個子加群；② 對任意a∈I，r∈R，元素ar，ra都在I中，此時，我們稱I是R的一個理想.

（2）設R是一個環，I是R的一個理想，商群RI關于乘法a·b=ab所生成的環，叫作R關于I的商環，仍用記號RI表示.

（3）設Z表示整數環，i表示虛單位（i=-1），Z[i]為所有形如a+bi，（a，b∈Z）的復數組成的集合，稱為高斯整數環.高斯整數環中的元素稱為高斯整數.

二、本 論

（一）高斯整數環其商環元素個數

命題1 如果A為高斯整數點，設A=a+bi，且a≠0，b≠0.以OA為邊作四邊形OABC.又設區域G～為正方形OABC內部的點及OA，OC邊上的點（但不包括A點和C點）中的全體高斯整數點，則G～內恰有a2+b2個高斯整數點.

證明 作正方形OABC的外接正方形EFGH，易知，正方形EFGH中所含的高斯整數點為（a+b）2=（a2+b2+2ab）個.長方形HCQB及PAGB中所含有的高斯整數點均為ab個，其中包括A，C點.三角形BPA與三角形CEO內所含的高斯整數點相同.三角形AOF與三角形BCQ內所含的高斯整數點相同.所以正方形EFGH-長方形HCQB-長方形PAGB中所含的高斯整數點的個數=G～中所含的高斯整數點的個數.故|G～|=a2+b2+2ab-2ab=a2+b2得證.

命題2 如果分別作平行于正方形OABC的各邊的平行線且相鄰的平行線間的距離相同，設G為所有平行于OA與OC的線束的交點的全體，則G僅含有點（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i，這里c+di是任意整數點.

證明 設G1={（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i|c+di∈Z[i]}.欲證G1=G.設GG1.對x+yi∈G，lA：y=abx與OA平行的直線族lA：y=bax+ma2+b2a（m∈Z）.

lC：y=-abx與OC平行的直線族lC：y=-abx+na2+b2b（n∈Z），故交點為y=bax+ma2+b2a，y=-abx+na2+b2b，

故（x，y）=（na-mb，am+bn），

取c=nd=m，知（x，y）=（ac-bd，ad+bc），

即x+yi=（a+bi）（c+di），c，d∈Z.

故x+yi∈G1，故GG1.

下證：G1G.

對x+yi∈G1.即存在c+di∈Z[i].s.t.x+yi=（a+bi）（c+di），即x=ac-bdy=ad+bc.由上知：

直線y=bax+da2+b2a與直線y=-abx+ca2+b2b的交點為（ac-bd，ad+bc），

即交點為（x，y），故x+yi∈G.

故G1G，故G1=G.得證.

命題3 對任意高斯整數點x+yi存在唯一的高斯整數點c+di，e+fi滿足x+yi=（a+bi）（c+di）+（e+fi），其中e+fi∈G～.

證明 設M點坐標為x+yi，其在正方形NSTR上，但不在ST，RT邊上，設向量OMMN對應的復數為e+fi，因OM=ON+NM.由命題2知，|c+di∈Z[i].s.t.ON=（a+bi）（c+di），故由命題1知x+yi=（a+bi）（c+di）+（e+fi），故e=x-（ac-bd），f=y-（ab+bc）.由于x，y，a，b，c，d∈Z.故e，f∈Z，且由向量平移知e+fi∈G～.由于ON確定（OM的唯一分解），故e+fi唯一確定.得證.

定理 商環Z[i]/（a+bi）含有a2+b2個元素.

證明 現利用命題1，2，3.證明a≠0，b≠0的情況（對于a=0，b=0同理可證）.

首先做如下說明：易知

a+bi={（c+di）（a+bi）|c+di∈Z[i]}.

令[t=x1+y1i]=t+（a+bi）=x1+y1i+（a+bi），即Z[i]/（a+bi）={[t]，t∈Z[i]}.

同理有[t=x1+y1i]=[s=x2+y2i]t-s∈（a+bi）a+bi|t-st，s被a+bi整除時有相同余數.

由命題3知：x+yi∈Z[i].有x+yi=（a+bi）（c+di）+（e+fi）.e+fi∈G～.

故a+bi|x+yi-（e+fi），故x+yi與e+fi被整除時有相同的余數.

即[x+yi]=[e+fi]，

故Z[i]/（a+bi）={[e+fi]，e+fi∈G～.}

由于G～中所含元素個數為a2+b2個.

故|Z[i]/（a+bi）|=a2+b2.

結論 本文給出了高斯整數環其商環元素個數的幾何求解方法，通過對本課題的研究，加深對高斯整數環的了解，推出定理.在研究本課題的過程中，學會在借鑒前人研究成果的基礎上，通過科學的分析和嚴格的推理，得出新的理論成果.一方面，磨煉自己堅持不懈、百折不撓的頑強意志；另一方面，培養在科學研究的道路上勇攀高峰的奮斗精神.同時，在深刻領悟人類智慧成果的基礎上，不斷提高自身的數學素質和科研能力，為今后的學習和工作奠定基礎.