基于MATLAB的多項式的Bergman范數零點分析

丁立娟

【摘要】本文主要工作是在單位復圓盤D上平方可積的函數構成希爾伯特空間，Bergman空間定義為其中解析函數構成的子空間.本文探討多項式函數的Bergman范數的最值和它的零點在D上的位置分布的關系.通過對帕塞瓦爾定理的直接應用，得出了2-范數的精確結果.對于p-范數給出了部分結果的證明和n=3時對猜測結果的計算機驗證.

【關鍵詞】Bergman范數；MATLAB計算；多項式；零點

一、前 言

在工程數學中Bergman范數的求解與分析具有重要的作用，本文主要針對的是多項式的Bergman范數零點，進行理論證明和計算機的驗證.

二、理論準備

假定u是A內連續的下調和函數，并且m（r）≤12π∫π-πu（reiθ）dθ.（0≤r<1）

若r1

由以上定理可知12π∫π-π|f（reiθ）|pdθ是r的增函數.

Holder不等式：

∫E|f（x）g（x）|dx≤ ∫E|f（x）|p1p· ∫E|f（x）|q1q，

1p+1q=1.

Holder不等式的推廣：

∫E|∏Nn=1fn|dx≤∏Nn=1 ∫E|fn|pndx1pn，其中∑Nn=11pn=1.

三、理論證明

（一）對2-范數最值問題的證明

設n次多項式f（z）=∑Nn=0anzn，不妨設aN=1，由復系數多項式的因式分解定理知，

f（z）=∏Nn=1（z-zn），其中zn是f（z）在D上的零點（n=1，2…，N）且滿足0

由2-范數的定義和極坐標變換得

‖f‖22=∫10r∫2π0|f（reiθ）|2dθdr，

由帕塞瓦爾定理得

∫2π0|f（reiθ）|2dθ=∑+∞n=0|an|2r2n，

代入上式得

‖f‖22=∫10r2π∑Nn=0|an|2r2ndr=2π∫10∑Nn=0|an|2r2n+1dr

=2π∑Nn=0∫10|an|2r2n+1dr=∑Nn=0|an|2πn+1.

由根與系數的關系得

an=（-1）N-n∑n1

令f1（z）=zn-an，f2=（z-b）n，設其各項系數分別為a（1）n（n=1，2…，N）和a（2）n（n=1，2…，N），由上述公式得

|an|=|（-1）N-n∑n1

<∑n1

當n=0時，

|a0|=aN<∏Nn=1|zn|=|a（2）0|；

當0

|an|=|（-1）N-n∑n10=|a（2）n|；

當n=N時，

aN=a2N=1；

綜上，|a（1）n|<|an|<|a（2）n|，對于0≤n≤N.

因為‖f‖2=∑Nn=0|an|2πn+1是|an|的單調函數，

‖f1‖2=2π∑Nn=0|a（1）n|22n+2<‖f‖2<∑Nn=0|a（2）n|2πn+1=‖f2‖2.

因此，由對稱性可知，當f的零點在r=a上均勻分布時，f的2-范數取得最小值；當f的n個零點集中在r=b上某一點上時，多項式函數f的2-范數取得最大值.

至此，2-范數情況證畢.

特別地，對于測度dAa（a）=（1-|z|2）adA（a），a>-1時，

‖f‖22=∫10r（1-r2）∫2π0|f（reiθ）|2dθdr，

利用帕塞瓦爾定理得

‖f‖22=2π∫10∑Nn=0|an|2（r2n+1-r2n+3）dr

=∑Nn=0π（n+1）（n+2）|an|2.

由|a（1）n|<|an|<|a（2）n|（對于0≤n≤N），同上法可得出相同結果.

四、對于p-范數問題的研究

利用Holder不等式得

‖f‖pp=∫10∫2π0∏Nn=1|（reiθ-rneiθn）|pdθrdr

≤∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ1nrdr.

注意到

∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ=∫2π0（|（reiθ-rneiθn）|2）np2dθ

=∫2π0（r2-2rrncos（θ-θn）+r2n）np2dθ

=∫2π0|（rneiθ-reiθn）|npdθ.

由上面結論12π∫π-π|f（reiθ）|pdθ是r的增函數可知

∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ=∫2π0|（rneiθ-reiθn）|npdθ

也是rn的增函數，且rn

∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ=∫2π0|（rneiθ-reiθn）|npdθ

≤∫2π0|（beiθ-reiθn）|npdθ=∫2π0|（reiθ-beiθn）|npdθ.

所以

‖f‖pp=∫10∫2π0∏Nn=1|（reiθ-rneiθn）|pdθrdr

≤∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-rneiθn）|npdθ1nrdr

≤∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-beiθn）|Npdθ1Nrdr，

由周期函數的性質得

∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-beiθn）|Npdθ1Nrdr

=∫10∏Nn=1 ∫2π0|（reiθ-b）|Npdθ1Nrdr

=∫10∫2π0|（reiθ-b）|Npdθrdr=∫D|（z-b）N|pdA（z）.

即對于p-范數，當f的n個零點集中在r=b上某一點上時，多項式函數f的p-范數取得最大值.

五、基于MATLAB對三次多項式的結果進行驗證

利用MATLAB編程初步驗證了題目中猜測的結果.我就n=3的情況下利用隨機數產生一組多項式，并要求多項式在D上有n個零點.通過近似積分計算初步驗證了猜想.主程序如下：

a=0.1； %零點模的下界

b=0.9；%零點模的上界

p=1.5；%p值

f=@（r，th）（abs（（r.*exp（i.*th））.^3-a.^3））.^p.*r；%表示p（z）=zn-an

vmin=integral2（f，0，1，0，2*pi）

%p（z）=zn-an的p-范數

g=@（r，th）（abs（（r.*exp（i.*th）-0.9）.^3））.^p.*r；%表示p（z）=（z-b）n

vmax=integral2（g，0，1，0，2*pi）

%p（z）=（z-b）n的p-范數

k=0；

for j=1：100

R=unifrnd（0.1，0.9，3，1）；TH=rand（3，1）*2*pi；

h=@（r，th）（abs（（r.*exp（i.*th）-R（1）*exp（i *TH（1）））.*（r.*exp（i.*th）-R（2）*exp（i*TH（2）））.

*（r.*exp（i.*th）-R（3）*exp（i*TH（3）））））.^p.*r；

v=integral2（h，0，1，0，2*pi）；

if v>=vmin&&v<=vmax

k=k+1；

end

End %計算隨機產生的滿足條件的100個多項式

%并比較其范數

k/100%求出介于兩數值之間的百分比

運行結果為100%，表示隨機產生的100個多項式的p-范數都介于兩者之間，可以驗證對于1 000個多項式計算也成立.

由于多項式是隨機產生的，所以初步可以驗證猜測的準確性.由于希爾伯特空間具有很好的幾何性質，所以在2-范數情況下存在精確的解析結果，即由帕塞瓦爾定理推導出的積分公式.但是對于一般的Lp空間，不具有希爾伯特空間的特點，所以沒有得到精確表達式.但是可以利用下調和函數的性質證明猜測.根據對p=2時結果加以歸納，可以猜測出當f的零點在r=a上均勻分布時（這里說的均勻分布是指相鄰的兩個零點之間，幅角的差是定值2πn）f的p-范數取得最小值；當f的n個零點集中在r=b上任意一點上時，多項式函數f的p-范數取得最大值.本文中已經給出了取得最大值情況的證明，對于最小值的情況，給出了n=3時三次多項式的計算機驗證，驗證的結果也說明了猜測的正確性.

【參考文獻】

[1]梁舒.分數階系統的控制理論研究[D].合肥：中國科學技術大學，2015.

[2]梁玉霞.算子有界性、緊性以及簡單動力學性質的研究[D].天津：天津大學，2014.

[3]趙翀.擬齊次Hilbert模的p-本質正規性[D].上海：復旦大學，2014.

[4]余佳洋.算子Lehmer問題與距離泛函[D].上海：復旦大學，2014.

[5]趙顯鋒.Berezin變換與Toeplitz算子[D].重慶：重慶大學，2014.

[6]馮鑫.多尺度分析與壓縮感知理論在圖像處理中的應用研究[D].蘭州：蘭州理工大學，2012.

[7]黃寒松.Bergman空間上的Von Neumann代數、約化子空間和相關的幾何分析[D].上海：復旦大學，2009.

[8]王倫.內外分解和譜分解問題的解析計算及其MATLAB仿真[D].上海：上海交通大學，2007.