矩陣的非常規轉置

孫丹

【摘要】本文從矩陣的常規轉置（主轉置），延拓到矩陣的非常規轉置（次轉置、行轉置、列轉置）.經過深入探討，給出了它們的妙趣橫生的頗有意義的一系列結論，并予以技巧各異的論證，其中以行轉置和列轉置二者的關系最為奇妙.此后又由常規的對稱陣和反對稱陣，給出次轉置的次對稱陣與反次對稱陣的定義及其相關結論.

【關鍵詞】次轉置；行轉置；列轉置；次對稱陣；反次對稱陣

一、引 言

矩陣的轉置（常規轉置或主轉置）是矩陣論的重要組成部分.筆者聯想到矩陣的非常規轉置（次轉置、行轉置、列轉置），給出它們的定義，并經過長期深入的研究與探討，給出了它們的一系列妙趣橫生的頗有意義的諸多結論.對其中顯而易見者，我們免去其證明；有些我們則以例代證，以方便讀者；對行、列均有的成套結論，我們僅對行證，因為對列同理；對多數結論，我們不惜篇幅，均予以技巧各異的論證.最后由常規的對稱陣和反對稱陣，給出次轉置的次對稱陣與反次對稱陣的定義及相關結論.

二、預備知識

為方便比較與研究，我們不妨先給出如下的定義：

（一）設矩陣A=（ai j）m n，把A的行變為列所得到的陣AT=（aj i）n m叫作矩陣A的轉置（常規轉置或主轉置）.

（注：“T”為“Transposed”的第一個字母）

（二）設矩陣A=（ai j）m n，以其次對角線為軸，左上和右下的元素對應互換所得到的陣AS=（an-j+1 m-i+1）n m叫作矩陣A的次轉置.

（注：“S”為“Sub-transposed”的第一個字母）

例如，

A=3-102-2014-64-20，

AS=042-21040-1-6-23 .

（三）設矩陣A=（ai j）m n，以其中間行或中間兩行的“空”為軸，上下等距離的行對應互換所得到的陣AH=（am-i+1 j）m n叫作矩陣A的行轉置.

（注：“H”為“Horizontal transposed”的第一個字母）

例如，

A=3-102-2014-64-20，

AH=-64-20-20143-102，

B=-1321-201-343350-2120-16-4，

BH=20-16-4350-2101-343-1321-2 .

（四）設矩陣A=（ai j）m n，以其中間列或中間兩列的“空”為軸，上下等距離的列對應互換所得到的陣AV=（ai n-j+1）m n叫作矩陣A的列轉置.

（注：“V”為“Vertical transposed”的第一個字母）

例如，

A=3-102-2014-64-20，

AV=20-13410-20-24-6，

B=-1321-201-343350-2120-16-4，

BV=-2123-134-3101-2053-46-102 .

矩陣的常規轉置（主轉置）的諸多結論讀者是知曉的，這里無須一一列出.

三、若干結論

下面給出矩陣的次轉置、行轉置、列轉置的相關結論.下文所涉及的矩陣，有時是長方陣，有時是方陣，這對讀者是不說自明的.

（一）次轉置

1.（AS）S=A.

2.（aA）S=aAS.

3.（A+B）S=AS+BS.

4.r（AS）=r（A）.（r（A）表示陣A的秩）

5.r（AAS）=r（ASA）=r（A）.

6.（AB）S=BSAS.

（注：3，6可推廣到有限多個）

例1 已知A=3-102-2014-64-20，

B=-1321-201-343350-2120-16-4，

則有

（AB）S=22-11-17142011-24-87-24-180131，

BSAS=22-11-17142011-24-87-24-180131=（AB）S.

7.|AS|=|A|.

例2 已知C=143254432，則有|C|=-35，

|CS|=243354421=-35=|C|.

8.（AS）*=（A*）S.

證明 令A=（ai j）n n，則AS=（an-j+1 n-i+1）n n，

（AS）*=（-1）1+1an-1 n-1…a1 n-1

………

an-1 1…a1 1…

（-1）n+1an-1 n…a1 n

………

an-1 2…a1 2

………

（-1）1+nan n-1…a2 n-1

………

an 1…a2 1…

（-1）n+nan n…a2 n

………

an 2…a2 2

=（-1）n+na1 1…a1 n-1

………

an-1 1…an-1 n-1…

（-1）1+na1 2…a1 n

………

an-1 2…an-1 n

………

（-1）n+1a2 1…a2 n-1

………

an 1…an n-1…

（-1）1+1a2 2…a2 n

………

an 2…an n

=An n…An 1

………

A1 n…A1 1=（A*）S.

9.若A可逆，則AS也可逆，且（AS）-1=（A-1）S.

證明 由A可逆，則|A|≠0，進而|AS|≠0，于是AS可逆.

則（AS）-1=（AS）*|AS|=（A*）S|A|=（A-1）S，

所以AS也可逆，且（AS）-1=（A-1）S.

10.若A可逆，a≠0，則aAS也可逆，且（aAS）-1=a-1（A-1）S.

證明 由A可逆，則AS也可逆，進而|AS|≠0，則|aAS|≠0，

于是aAS也可逆.

則（aAS）[a-1（AS）-1]=aa-1[AS（AS）-1]=AS（A-1）S=（A-1A）S=E，

所以aAS也可逆，且（aAS）-1=a-1（A-1）S.

11.|（AS）-1|=|AS|-1（A為可逆陣）.

證明 由A可逆，則|A|≠0，AS可逆，且|AS||（AS）-1|=E.

于是|AS（AS）-1|=|E|=1.

由|AS|=|A|，且|A|≠0，

所以|（AS）-1|=|AS|-1.

12.如果A與B均為n階可逆陣，則ASBS也可逆，且（ASBS）-1=（BS）-1（AS）-1.

證明 由A，B均可逆，則AS，BS也可逆.

又由|ASBS|=|（BA）S|=|AB|≠0，

知ASBS可逆，則

（ASBS）[（BS）-1（AS）-1]=AS[BS（BS）-1]（AS）-1=（A-1A）S=E，

所以ASBS也可逆，且（ASBS）-1=（BS）-1（AS）-1.

13.若n階方陣A與B可交換，A可逆，則（AS）-1與BS可交換.

證明 由AB=BA，知AA-1B=BAA-1=ABA-1，

兩邊取次轉置，得BS（A-1）SAS=（A-1）SBSAS，

右乘（AS）-1，得BS（A-1）S=（A-1）SBS，

即BS（AS）-1=（AS）-1BS，所以（AS）-1與BS可交換.

14.若n階方陣A與B相似，則AS與BS也相似.

證明 由A與B相似，知存在n階可逆陣Q，使B=Q-1AQ，兩邊取次轉置，得

BS=（Q-1AQ）S=QSAS（Q-1）S=[（QS）-1]AS（QS）-1，

所以AS與BS也相似.

15.若λ是n階方陣A的特征值，則λ也是AS的特征值.

證明 由|（λE-A）S|=|λE-AS|及|（λE-A）S|=|λE-A|，

則|λE-AS|=|λE-A|，

即AS與A有相同的特征值，所以λ也是AS的特征值.

（二）行轉置和列轉置

1.（AH）H=A，（AV）V=A.

2.（aA）H=aAH，（aA）V=aAV.

3.（A+B）H=AH+BH，（A+B）V=AH+BV.

4.r（AH）=r（AV）=r（A）.

5.（AB）H=AHB，（AB）V=ABV.

（注：3，5可推廣到有限多個）

例3 已知

A=3-102-2014-64-20，

B=-1321-201-343350-2120-16-4，

則有BHAH無意義，

AHB=0-24-241422

13-1-820-11

18711-17=

（AB）H=0-24-241422

13-1-820-11

18711-17 .

僅有

AHB=01812-5222

-8137-43

11122-17≠

（AB）H=0-24-241422

13-1-820-11

18711-17 .

對一般情況，我們證明如下

令A=（ai j）m p，B=（bi j）p n，

則（AB）H=（∑pk=1am-i+1 kbk j）m n，

AHB=（am-i+1 j）m p（bi j）p n=（∑pk=1am-i+1 kbk j）m n，

所以（AB）H=AHB.

6.|AH|=|AV|=（-1）n2|A|（其中n2是的Gauss函數值）.

證明 若n為奇數，則交換A的第1行與第n列，交換A的第2行與第n-1列，…，交換A的第n-12行與第n-32列，便得到AH，即對A進行了n-12次行對換后，A變為AH，此時n-12=n2.

所以|AH|=（-1）n2|A|.

若A為偶數，則n2是整數，此時對A進行了n2次行對換可得到AH，且n2=n2.

所以|AH|=（-1）n2|A|.

總之|AH|=（-1）n2|A|.

例如，C=143254432，

8.若A可逆，則AH可逆，AV可逆，且有（AH）-1=（A-1）V，（AV）-1=（A-1）H（A為可逆陣）.

證明 結論的前者是不證自明的，

（AH）-1=（AH）*|AH|=[（-1）2n（A*）V][（-1）n2|A|]

=A*|A|V=（A-1）V，

所以AH可逆，AV可逆，且有（AH）-1=（A-1）V，（AV）-1=（A-1）H.

行家們都知道，特殊矩陣是矩陣論的重要組成部分.下面類似對稱陣與反對稱陣，我們給出次對稱陣與反次對稱陣的定義及相關結論.

（三）次對稱陣與反次對稱陣

1.A=（ai j）n n叫作次對稱陣，假若（ai j）n n=（an-j+1 n-i+1）n n.

例5

D=3-57

1247-5

4123 就是一個3階次對稱陣.

2.A=（ai j）n n叫作反次對稱陣，假若（ai j）n n=（-an-j+1 n-i+1）n n.

（注：顯然有ai n-i+1=0.）

例6

F=3-50

-1205

412-3

就是一個3階反次對稱陣.

說明：令Ei j意義如常，

則gi j=1i=n-j+10i≠n-j+1.

3.次對稱陣

（1）對n階陣A，下列諸條件是等價的：

① A是次對稱陣；

② AJ是對稱陣；

③ JA是對稱陣；

④ A=JATJ.

（2）若A為次對稱陣，則AT及A*亦然.

（3）若A為n階對稱陣，且A可逆，則A-1也是次對稱陣.

（4）A，B均是次對稱陣，則AB是次對稱陣的充分必要條件是AB=BA.

4.反次對稱陣

（1）對n階陣A，下列諸條件是等價的：

① A是反次對稱陣；

② AJ是反對稱陣；

③ JA是反對稱陣；

④ A=-JATJ.

（2）若A為反次對稱陣，則AT亦然.

（3）奇數階反次對稱陣A的伴隨矩陣A*是次對稱陣，偶數階反次對稱陣A的伴隨矩陣A*是反次對稱陣.

5.二者間的關系

（1）若A，B均是次對稱陣，則AB-BA是反次對稱陣.

（2）若A，B均是反次對稱陣，則AB是次對稱陣的充分必要條件是AB=BA.

（3）若A，B中的一個是次對稱陣，另一個是反次對稱陣，則AB是反次對稱陣的充分必要條件是AB=BA.

我們知道，任一個方陣A都可唯一地表示為一個對稱陣與一個反對稱陣之和，類似地，我們有：

（4）任一個方陣A都可唯一地表示為一個次對稱陣與一個反次對稱陣之和.

（即A=A+AS2+A-AS2）

四、結 論

本文，我們從矩陣的常規轉置（主轉置）延拓到矩陣的非常規轉置（次轉置、行轉置、列轉置）.經過筆者長期深入的研究與探討，給出了它們的一系列妙趣橫生的頗有意義的諸多結論.如，（AS）*=（A*）S，（aAS）-1=a-1（A-1）S，（AB）H=AHB，（AB）V=ABV， |AH|=|AV|=（-1）n2|A|，（AH）*=（-1）n2（A*）V，（AV）*=（-1）n2（A*）H，等等.它們有些是與主轉置對應的，有些甚至是平行的，而行、列轉置的很多結論中，有些是“對稱”的，如此的關聯，真可謂巧哉妙也.此后又由常規的對稱陣和反對稱陣，我們又給出次轉置的次對稱陣與反次對稱陣的定義及相關結論.若讀者有興趣致力于這方面的研究，可進一步尋求其他結論.

另外，我們還可以引申出次正定陣、次對稱次正定陣、亞次正定陣等.它們已超出本文的既定宗旨，我們也把它們略去.對文中諸如此類問題，若有機會，筆者將再撰文奉獻給尊敬的讀者.

矩陣論是數學領域中的一座寶山，本文只窺到這座寶山的極小部分，還有更多的“寶藏”，有待于勤奮的人們來“勘探”、去“開采”.希望本文能對讀者研究矩陣論起到拋磚引玉的作用，這也是筆者寫作的目的之一吧！

【參考文獻】

[1]張禾瑞，郝鈵新.高等代數.高等教育出版社，1983：100-253.

[2]孫宗明.高等代數的內容與方法.蘭州大學出版社，1990：61-178.

[3]魏獻祝.高等代數一題多解例.福建人民出版社，1982：174-178.

[4]揚源淑，李先科.線形代數學習和解題指導.北京郵電大學出版社，1998：33-74.

[5]胡金得，王飛燕.線性代數輔導.清華大學出版社，1995：1-133.

[6]陳森森.關于三角矩陣類求逆的一種方法.曲阜師院學報，1989（1）.

[7]H Braun，M Koecker.Jordan-Algebran[M].Springer-Verlag，Berlin，Heidelherg，NewYork，1966.

[8]Jerome E Kaufmann.College Algebra Second Edition[M].PWS-Kent Publishing Company，Boston，1990：381-404.