折疊問題中折痕旋轉的探索

金建偉

【摘要】軸對稱、折疊問題是中考的熱點、難點問題，幾何圖形的折疊問題，實際是軸對稱問題.通常是把某個圖形按照給定的折痕折疊，比較折疊前后全等圖形，搞清折疊前后哪些量變了，哪些量沒變，根據對稱點與折痕的聯系、變化來命題.折疊問題的解決離不開折痕的研究，折痕（對稱軸）的類型有固定、平移、旋轉三種類型，本文著重探索折痕旋轉類型，這類題目立意新穎，能培養學生的識圖、想象、靈活運用數學知識解決問題的能力.我們在研究這類問題時要善于由形思數、由數思形、數形結合，找出對稱軸（折痕）旋轉過程中的規律，能起到化難為易、化繁為簡的效果.

【關鍵詞】對稱軸；折痕；垂直平分；平移；旋轉

折疊、軸對稱問題的解決，離不開對折痕、對稱軸的研究，結合折疊前后的圖形關于折痕成軸對稱關系，即圖形之間的全等，得出對應線段和對應角相等，對應點的連線被折痕垂直平分等知識來解決問題.如果折痕（對稱軸）是固定不動的題型，考生相對容易解決.如果折痕（對稱軸）是旋轉的題型，折疊后的圖形隨著折痕（對稱軸）的旋轉而發生改變，解決這類題，學生往往很難找出變換后的圖形的位置特征，不知從何下手解題，無法解出題目.下面對涉及紙片折疊、軸對稱有折痕（對稱軸）旋轉的題型進行研究、剖析，發現其本質規律，找出變換后圖形的位置特征，讓學生容易入手.

首先我們來研究當直線l（對稱軸）繞固定點O旋轉時，固定點A的對稱點A′有什么特征呢？如圖1所示，根據軸對稱的性質可知：l⊥AA′，AB=A′B，OA=OA′必成立.由于點O、點A是固定點，線段OA的長度是定值，軸對稱線段OA′=OA，OA′是定值，隨著對稱軸l的旋轉，對稱點A′的位置跟著運動，運動過程中動點A′到定點O的距離等于OA長度，固定不變，動點A′的運動路線看成在以O為圓心，OA為半徑的圓弧（如圖2、圖3）.

即當對稱軸沿某一固定點（中心）旋轉時，對稱點在以固定點（中心）為圓心，定長為半徑的圓弧上.

折疊問題中的折痕轉動問題，就是研究對稱軸的旋轉.如果能發現折痕（對稱軸）繞固定點旋轉時，對稱點在圓弧上的這一特征，學生可以通過畫圓弧幫助解決問題，打開思路，達到化繁為簡的目的.

例1 （寧德中考數學）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠C=90°，AC=BC=4，點P在AC上運動，將紙片沿PB折疊，得到點C的對應點D（P在C點時，點C的對應點是本身），則折疊過程對應點D的路徑長是.

分析 本題是折疊問題，學生較難想象點D的位置，動手操作起來也比較困難.如果能發現折痕PB繞著固定點B在轉動時，根據軸對稱的知識，固定點C的對稱點D始終滿足BC=BD，即點C的對稱點D在以B為圓心，BC長為半徑的圓弧上（如圖5）.當點P與點C重合時，點D與點C重合（如圖6），當點P與點A重合時，點D的位置如圖7所示，由題意可得∠ABC=45°，根據對稱得∠DBA=45°，∠DBC=90°，點D的路徑長是以點B為圓心，BC長為半徑，圓心角為90°的圓弧長，本題就迎難而解了.

解答 lCD=14π×r2=14π×42=4π.

例2 如圖8，在矩形紙片ABCD中，BG=10，BC=13，將紙片沿過點G的折痕GE折疊，折痕與矩形的另一邊交于點E，頂點B的對應點F落在邊AD上.

圖8

（1）① 若AB=10時，滿足條件的點F有個；

② 若AB=13時，滿足條件的點F有個；

③ 若滿足條件的點F有2個時，AB取值范圍為；

④ 若滿足條件的點F有1個時，AB取值范圍為；

⑤ 若滿足條件的點F有0個時，AB取值范圍為.

（2）當AB=8，求出折痕的長.

分析 初看本題后，學生較難想象點F的位置，不易入手.如果能發現折痕（對稱軸）GE繞著固定點G轉動時，根據軸對稱的知識，固定點B的對稱點E始終滿足GB=GF，即點B的對稱點F在以G為圓心，BG長為半徑的圓弧上.當AB的長度不同時，圓弧與AD邊會出現相離、相切、相交3種位置關系（如圖9、圖10、圖11），滿足條件的點F有0個、1個、2個，本題就迎難而解了.

例3 （河南中考數學）動手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5.如圖12所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕PQ，當點A′在BC邊上移動時，折痕的端點P，Q也隨之移動.若限定點P，Q分別在AB，AD邊上移動，則點A′在BC邊上可移動的最大距離為.

分析 本題也屬于折疊為背景的問題，折痕（對稱軸）旋轉類型，當點Q固定某個位置時，隨著點P從點A向點B的移動，折痕（對稱軸）看成繞點Q在旋轉，QA=QA′始終成立，定點A的對稱點A′始終在以點Q為圓心，QA為半徑的圓弧上.而本題的點Q是移動的，隨著點Q位置不同，就可以畫無數個以Q為圓心，QA長為半徑的圓弧，就是對稱點A′的可能路線，與BC邊的交點就是滿足條件點A′的位置，觀察下面這組圖（如圖13—圖17）.當點P與點B重合（如圖15），即QA=AB=3時，點A′剛好能落在BC上；隨著點Q越往點D方向移動，圓弧與線段BC的交點A′越往左邊移動（如圖15、圖16、圖17），當點Q與點D重合時（如圖17），就是對稱點A′在最左邊的情形，只需求出圖17中BA′長度，

與圖15中BA′長度，兩者長度之差，就是點A′在BC邊上可移動的最大距離.

折疊問題中“折”是過程，“疊”是結果，其實質是軸對稱變換.平面圖形的折疊問題能夠考查學生動手操作能力與空間想象能力及推理能力.遇到折疊問題中折痕（對稱軸）旋轉時，如果能發現對稱點在圓弧上運動的特征，學生在解題時可以達到降低難度，化難為易的目的.

教師在課堂教學過程中要多搜集、整理、歸類一些有價值的例題和習題，發現問題的本質、規律，打開學生的思路，使學生的解題思路更為清晰，思維的應變能力得到充分的鍛煉和培養.

【參考文獻】

[1]吳巖.破解2012年中考折疊問題的思路[J].中學教學參考，2013（14）：9-10.

[2]劉強.中考試題中的折疊問題[J].中小學數學（初中版），2014（06）：28-29，31.