向量形式的三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)及應(yīng)用

王俊艷

【摘要】本文引用了向量這一工具，給出了向量形式的三角形內(nèi)角平分線的三個(gè)性質(zhì)，并舉例說明了這三個(gè)性質(zhì)在解題方面的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】三角形；單位向量；內(nèi)角平分線

一、向量形式的三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)

性質(zhì)1 在△ABC中，BP是∠ABC的角平分線的充要條件為：存在正實(shí)數(shù)k，使得BP=kBA|BA|+BC|BC|.

性質(zhì)2 在△ABC中，AD平分∠BAC，則|AB||AC|=|DB||CD|（即三角形內(nèi)角平分線定理）.

性質(zhì)3 若AD是△ABC中∠A的角平分線，則有

AD=|AC|·AB+|AB|·AC|AB|+|AC|.

二、相關(guān)應(yīng)用

圖1

例1 如圖1所示，經(jīng)過∠XOY的角平分線上的點(diǎn)A，任作一直線與OX和OY分別交于P和Q，求證：1OP+1OQ為定值.

證明 過點(diǎn)A作OA的垂線（唯一性）交OX和OY于R和S，則△ORS是等腰三角形，則有

2OA=OR+OS=|OR||OP|OP+|OS||OQ|OQ.

由于P，A，Q三點(diǎn)共線，所以|OR||OP|+|OS||OQ|=2，

而|OR|=|OS|（定值），

所以可得1|OP|+1|OQ|=2|OR|，即1OP+1OQ為定值.

圖2

例1 如圖2所示，△ABC中，D和E分別在AB和AC上，且BD=CE，M和N分別是BC和DE的中點(diǎn)，那么NM與∠A的角平分線AT平行.

證明 設(shè)DB=mAB，EC=nAC，

由BD=CE得

ABAC=nm=BTTC，

AT=AB+BT=AB+nn+mBC=AB+nn+m（AC-AB）

=mn+mAB+nn+mAC，

即有AT=mAB+nACm+n=DB+ECm+n=2NMm+n，

所以NM與AT平行.

例3 如圖3所示，在△ABC中，AD為中線，AE為角平分線，EF平行CA交AD于F，求證：CF⊥AE.

圖3

證明 由AE為角平分線及性質(zhì)3可知

AE=|AB|AC+|AC|AB|AB|+|AC|.

由AD為中線可得AD=12（AB+AC），

又因?yàn)锳C平行于EF，所以AFAD=CECD=2CECB=2ACAB+AC.

從而 AF=2ACAB+ACAD=ACAB+AC（AB+AC），

則有 CF=CA+AF=|AB|CA+|AC|AB|AB|+|AC|，

AE·CF=|AC||AB|+|AC|AB+|AB||AB|+|AC|AC ·

|AC||AB|+|AC|AB-|AB||AB|+|AC|AC，

則AE·CF=0，所以CF⊥AE.

三、總 結(jié)

本文通過對(duì)向量形式的角平分線的性質(zhì)的研究，給出了其在解題方面的應(yīng)用，可以看出運(yùn)用角平分線的向量形式可以很好地解決與角平分線有關(guān)的幾何問題，這就為我們解題帶來了方便.

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