淺析求解二面角的余弦值問題

王大寧

【摘要】本論文探討了立體幾何中二面角的問題，用多種思維方式有效地解決了求解二面角的余弦值問題.

【關鍵詞】二面角；余弦值；直角坐標系；向量

立體幾何是每年高考必考的內容之一，由于考生在這部分推理不夠嚴謹，筆誤較多，定理掌握得較含糊，所以得分率也是最低的.2013年高考數學重慶卷（理）中第19題（2）問是求二面角B-AF-D的正弦值，由于二面角的范圍是180°，所對應的正弦值都非負，所以不用判斷所求值的符號，這在一定程度上降低了該題的難度.若將該問改為“求二面角B-AF-D的余弦值”，就應該判斷該二面角為銳角還是鈍角，這將會成為很多考生的一個難題，接下來我介紹幾種不需要先判斷二面角的大小的方法對這道題進行講解.

例 如圖1，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AP=23，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=π3，F為PC的中點，AF⊥PB.求二面角B-AF-D的余弦值.

圖1

方法一 （幾何法）

分析 根據二面角的平面角的定義，在AF上找一點G分別在兩個半平面上作AF的垂線，從G點出發的兩條射線所成的角即為二面角的平面角.

圖2

解 根據題意，可過B作BG垂直AF于G，連接DG，易證△ABF≌△ADF，所以DG⊥AF，

則∠BGD為二面角的平面角.

在△ABC中，由余弦定理可知AB=23，BC=2，AC=4，則AB2+BC2=AC2，所以BC⊥AB，

又因為PA⊥BC且PA∩AB=A，得BC⊥面PAB，所以BC⊥PB，

在Rt△PAC和Rt△PBC中，AF=BF=12PC=7，在△ABF中，由等面積法得BG=2×237=4217，

所以，DG=BG=4217，BD=AB=23.

在△BGD中，cos∠BGD=BG2+DG2-BD22BG·DG=18，

所以，二面角B-AF-D的余弦值為18.

方法二 （向量法1）

分析 根據二面角的定義，二面角可由線線角表示出來.所以，過B，D分別作BG⊥AF，DH⊥AF，由向量的平移性知，任意兩個向量都可以移到共同的起點，則GB和HD所成的角即為二面角B-AF-D所成角.

圖3

解 如圖3，建立空間直角坐標系O-xyz，則A（0，-3，0），B（3，0，0），D（-3，0，0），F（0，-1，3），

設G（x1，y1，z1），H（x2，y2，z2），則GB·AF=0，AG=λAF，

解得G0，-97，637，同理可得H0，-97，637，

所以，GB=3，97，-637，HD=-3，97，-637，

cos〈GB，HD〉=GB·HD|GB||HD|=18，

所以，二面角B-AF-D的余弦值為18.

小結 以上幾種方法都有效地避免了判斷二面角為銳角還是鈍角，可以提高考生的解題質量.當然，這里還有其他方法，以上只是個人看法，僅供參考.

【參考文獻】

[1]課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心，編著.數學·必修2[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心，編著.數學·選修2-1[M].北京：人民教育出版社，2007.