破解向量最值問題的三種有效途徑

張樹鵬

【摘要】向量最值是高中數學重要內容，基于向量的幾何、代數、不等式的特征，滲透數形結合思想、函數思想與不等式思想，采用數形結合法、函數構造法與靈活放縮不等式，是破解向量最值的三種有效的途徑方法.

【關鍵詞】向量；最值途徑

向量是高中數學的重要內容，高考中常以小題、大題交織融合三角函數、解析幾何、立體幾何、不等式等知識為主要內容，充分體現了向量工具性特征.向量既有“數”的抽象，又兼“形”的直觀，是溝通代數與幾何的天然橋梁.平面向量中的最值問題不僅是向量的重要內容，更會使學生們不知所措，無從下手，本文就向量最值問題的破解作一淺析.

一、基于向量“幾何性”，通過數形結合求最值

向量的平行四邊形法則、三角形法則與平面向量基本定理都是向量“形”的特征，將向量問題置于適當的幾何背景之中，抽象問題直觀化.

例1 （2016安徽合肥質檢）在三角形ABC中，若∠BAC=120°，AB·AC=-1，則|AB-AC|的最小值等于多少？

解析 由AB·AC=|AB|·|AC|·cos120°=-1，

得|AB|·|AC|=2.

由圖示可知|AB-AC|=|CB|，

余弦定理可得

|CB|2=|AB|2+|AC|2-2|AB|·|AC|·cos120°.

由基本不等式|AB|2+|AC|2≥2|AB|·|AC|=4，

從而可得最小值為6.

點評 高考命題重視知識的交互滲透，是知識網絡的交匯.平面向量是“數”與“形”結合的最佳體現，所以數形結合法是解決向量問題的首選途徑.

二、基于向量“代數性”，通過構造函數求最值

平面向量坐標法，從根本上實現了向量的“代數化”，凸顯了向量的代數特征，通過向量的坐標化，將向量最值問題轉變為函數最值求解問題.

例2 （2015年福建高考）已知AB⊥AC，|AB|=1t，|AC|=t.

若P點是△ABC所在平面內一點，且AP=AB|AB|+4AC|AC|，則PB·PC的最大值等于多少？

解析 如圖設A為原點，AB，AC所在直線為x軸，y軸，建立直角坐標系，則

A（0，0），B1t，0，C（0，t），

∴AB|AB|=（1，0），AC|AC|=（0，1），

∴AP=AB|AB|+4AC|AC|

=（1，0）+4（0，1）=（1，4），

∴點P的坐標為（1，4），PB=1t-1，-4，

PC=（-1，t-4），

∴PB·PC=1-1t-4t+16=-1t+4t+17≤-4+17=13.

當且僅當1t=4t，即t=12時，取“=”，∴PB·PC最大值為13.

評析 在處理許多向量問題時，坐標化是一種常見思路，本題中利用坐標運算，將PB·PC轉化為變量t的函數，結合基本不等式得出最值.

三、基于向量“不等性質”，通過不等式放縮求最值

向量不等式性質有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|等，靈活應用向量模不等式可有效地解決向量最值問題.

例3 （2014年湖南高考）在平面直角坐標系中，0為原點，A（-1，0），B（0，3），C（3，0），動點D滿足|CD|=1，則|OA+OB+OD|的最大值.

解法1 由向量坐標運算法，設D（x，y），

則|CD|=1，∴（3-x）2+y2=1，

OA+OB+OD=（x-1，y+3），

∴|OA+OB+OD|=（x-1）2+（y+3）2.

問題轉化為圓（3-x）2+y2=1上的點與點（1，-3）間距離的最大值.

∵圓心C（3，0）與點P（1，-3）之間距離為7，

∴（x-1）2+（y+3）2的最大值為7+1.

解法2 利用向量模不等式可得最值.

∵OD=OC+CD.設a=OA+OB+OC=（2，3），

|a|=7，且OA+OB+OD=a+CD，

∴|OA+OB+OD|=|a+CD|≤|a|+|CD|=7+1.

當a與CD同向時|OA+OB+OC|有最大值為7+1.

點評 解法（1）利用向量“幾何法”，通過數形結合求得最值.而解法（2）則靈活應用了向量的不等式性質，解法顯得更簡便.