談直線與橢圓、 雙曲線位置關系的判別方法

劉妍

【摘要】高中階段數學學習中最重要的幾何知識點就是直線與橢圓、雙曲線的位置關系，如何判斷幾者之間的關系是需要學生重點掌握的，本文提出了幾點判別直線與橢圓、雙曲線位置關系的方法.

【關鍵詞】直線與橢圓；雙曲線；判別方法

一、直線與橢圓的位置關系判別

在高中數學知識教學的時候，高中的數學教師習慣將解題的技巧轉授給學生，使得學生在解題的時候直接抓住解題的關鍵點，利用解題的技巧得出結論.在判斷直線與橢圓的關系的時候也是這樣的，高中生在解題的時候通常是根據橢圓的兩焦點與直線的距離之積和橢圓的短半軸的平方進行比較，學生必須明白這個條件僅僅是充分條件而非充要條件，學生在解答題目的時候必須對條件中所涉及的關鍵因素進行分析，確保數學題目在解答的時候得到最精準的結果，提高解題的效率.

在判斷橢圓與直線的位置關系的時候，充分必要條件為：已知直線l：Ax+By+C=0（B≠0），橢圓的表達式為x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），過橢圓的頂點M（-a，0），N（a，0），且垂直于x軸的直線分別為l1：x=-a，l2：x=a，直線l與l1，l2交點的縱坐標分別為y1和y2，則當直線l與橢圓相切時，y1y2=b2；當直線l與橢圓相交時，y1y2b2.在課堂講解的過程中，高中數學教師將這一結論當堂給學生進行證明和驗證，確保學生在解答問題的時候能夠從題目的條件入手找到切入點，使用該結論對題目進行解答.

二、直線與雙曲線的位置關系判別

由直線與橢圓的關系入手，可以從結論推斷的核心出發判別直線與雙曲線之間的關系，推斷的原理是具有相同性的：已知直線l：Ax+By+C=0（B≠0），雙曲線的表達式為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），過雙曲線的頂點M（-a，0），N（a，0），且垂直于x軸的直線分別為l1：x=-a，l2：x=a，直線l與l1，l2交點的縱坐標分別為y1和y2，則當直線l與雙曲線相切或者相離時，y1y2=-b2；當直線l與雙曲線相交時，y1y2>-b2；當直線l與雙曲線相離時，y1y2<-b2.高中生要注意題目是否能夠使用這一結論，如此在解答幾何問題的時候就能夠大大地提高解題的效率.

例如，判斷當m為何值的時候，直線y=m（x+3）與橢圓x24+y21=1的關系是相切、相交或者相離？這道題目是比較基礎的，重點考查的是學生的計算能力以及幾何結論應用的能力，從已知條件中可以看出，橢圓的a2=4，b2=1，從直線與橢圓的距離判斷二者之間的關系，可以得出y=m（x+3），x=-2；y=m（x+3），x=2.解得y1=m，y2=5m，根據結論得到y1y2=5m2=b2=1，此時直線與橢圓的關系是相切的，而當m在-55，55之間時，y1y2-55時，y1y2>b2=1，直線與橢圓的關系是相離的.在數學課堂上講解這道題目能夠順利地帶領學生理解課堂上講解的判定結論，通過習題的學習，高中生對于幾何問題的解答與分析有了自己的思路.

在高中數學學習的階段，高中生所面臨的數學知識點已經有了一定的難度，多數學生的數學學習能力在高中階段有所下降，尤其是幾何題目在解答的時候對于學生的計算能力有很高的要求，因此，在解答橢圓、雙曲線等等一些問題的時候，需要高中數學教師引導學生總結一些切實可行的結論，使得學生能夠在解答題目的時候找到更有效率的方式，使得學生的高中數學學習能力大大提高.

在判斷直線與橢圓、直線與雙曲線的位置關系的時候，高中的數學教師可以向學生講解很多的解題方法，學生可以根據自己的解題過程中遇到的實際題目情況選擇一種恰當的解題方式，多種位置判斷方法能夠給學生解答題目提供很多的思維方式，為學生尋找正確的幾何解題方法奠定良好的基礎.

三、總 結

在高中階段，數學知識的學習應當從多個角度著手，幾何計算能力在實際生活中具有廣泛的應用，高中數學教師在課堂講解的時候應當注意引用實例，帶領學生共同探究和驗證幾何結論，使得學生在解答數學問題的時候能夠更準確地找到解題的關鍵點，提高計算能力以及題目的解答效率，同時高中生的自主學習能力也相應地提高，為學生的后續成長奠定良好的基礎.

【參考文獻】

[1]魏志平.直線與橢圓、雙曲線位置關系的一種新的判定方法[J].中學數學雜志，2003（3）：47-48.

[2]劉洪華.判斷直線與橢圓位置關系的兩種新方法[J].中學生數學：高中版，2004（8S）：30.