再論“函數y=（ax+c）+bx+d（ab≠0）的圖像是雙曲線”

李錦成

文[1]簡證了“函數y=（ax+c）+bx+d（ab≠0）的圖像”是以直線x+d=0，y=ax+c為漸近線的雙曲線，在中學階段對含有交叉項xy的二次函數（因只學過坐標平移變換，沒學過坐標旋轉變換）要說明函數的圖像確實困難.而文[1]的證明過程都是中學生能接受的，因此，它對一類二次函數的圖像問題提供了一種有效的解決方法.

例1 函數2x2+3xy+2x-y+5=0的圖像是什么圖形？

解 將2x2+3xy+2x-y+5=0變形為

y=-23x-89+-5327x-13，

符合y=（ax+c）+bx+d（ab≠0）的形式.

∴函數的圖像是以直線y=-23x-89和x-13=0為漸近線的雙曲線.

例2 討論函數Ax2+Bxy+Dx+Ey+F=0（A·B≠0）的圖形問題.

解 將Ax2+Bxy+Dx+Ey+F=0變為

（Bx+E）y=-Ax2-Dx-F.

1.當Bx+E=0，并且x=-EB是函數Ax2+Dx+F=0的一個根時，函數圖像只表示直線x=-EB，否則無圖像.

2.當Bx+E≠0時，y=-Ax2-Dx-FBx+E，∵B≠0，A≠0，∴y=-ABx2+DAx+FAx+EB，

整理得y=-ABx+AE-BDB2+BDE-AE2-B2FB3x+EB.

（1）當BDE-AE2-B2F=0時，函數為直線y=-ABx+AE-BDB2；

（2）當BDE-AE2-B2F≠0時，應用文[1]定理可知：函數圖像是雙曲線.

最后補充說明，文[1]還可以：當a=0，b≠0時，y=c+bx+d仍然是雙曲線.

∵平移坐標軸令y′=y-c，x′=x+d，故y=c+bx+d可變為y′=bx′，

∴仍然是雙曲線.

另外，Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（B≠0）也是屬于雙曲線型函數.

【參考文獻】

[1]李晶，張國坤.“函數y=（ax+c）+bx+d（ab≠0）的圖像是雙曲線”之簡證[J].數學通報，2004（8）：44.