淺談函數圖像分析類問題的解題策略

雷瀟瀟

【摘要】近年來，函數圖像問題一直是高考經久不衰的話題，而對于給定的復合函數的表達式，要判斷出它的圖像這類問題也逐漸成為高考的一個命題熱點.本文簡單談談函數圖像分析類問題的解題策略.

【關鍵詞】函數圖像；函數模型；奇偶性；特殊點

這類題目的考查一般是選擇題，給出一個復合函數（非基本初等函數）的表達式及4個待選圖像，要求能從待選圖像的上下、左右分布范圍、變化趨勢、奇偶性、特殊點等方面來分析它們的不同，進而選出正確答案.基本方法有：

一、函數模型的方法

觀察所給定的函數表達式是否可以由某一基本初等函數經過平移變換、伸縮變換和對稱變換而得到.

二、定性分析的方法

在對函數表達式進行定性分析之前，首先求出定義域，再一一確定該函數的奇偶性、單調性、漸近線、對稱中心等.

三、定量分析的方法

通過定量的計算來分析該函數的值域、特殊點、極限點以及無窮遠處的取值或范圍.

解決一道題并不難，關鍵是要去挖掘更深一層的意義，總結方法，這樣才能有更大的收獲.下面以高考題為例，進一步闡明.

例1 （2012年新課標全國卷理10）已知函數f（x）=1ln（x+1）-x，則y=f（x）的圖像大致為（ ）.

A

B

C

D

分析 由y=f（x）的定義域為{x|x>-1且x≠0}，排除D；因為f′（x）=-1x+1-1[ln（x+1）-x]2=x（x+1）[ln（x+1）-x]2，所以當x∈（-1，0）時，f′（x）<0，y=f（x）在（-1，0）上是減函數，當x∈（0，+∞）時，f′（x）>0，y=f（x）在（0，+∞）上是增函數，故選擇B.

評注 該函數并不能直接由某一個基本初等函數經過變換而來，因此，我們直接對其進行定性和定量的分析.在求得定義域之后，也可通過定量分析來比較答案，當x從-1的右方無限趨近于-1時，ln（x+1）無限趨于-∞，x無限趨于-1，所以ln（x+1）-x無限趨于-∞，從而當x從-1的右方無限趨近于-1時，f（x）從負的一邊無限趨于0，（f（x）<0，且f（x）趨于0）.同樣可知f（x）在0的兩側均趨于-∞.

例2 （2015年浙江卷文5）函數f（x）=x-1xcosx（-π≤x≤π且x≠0）的圖像可能為（ ）.

A

B

C

D

分析 由定義域關于原點對稱，并且f（-x）=-x+1xcosx=-x-1xcosx=-f（x），故函數是奇函數，所以可排除A、B選項；取x=π，則f（π）=π-1πcosπ=-π-1π<0，故選D.

評注 該函數并不能直接由某一個基本初等函數經過變換而來，因此，我們直接對其進行定性和定量的分析.在定性分析中，我們也可以得這樣的結果，當x趨于0時，x-1x趨于-∞，cos0=1，故此時f（x）<0且趨于-∞，也可選出答案.所以，在做題中觀察答案的異同更能找到突破口，再選擇更簡便的方法.

例3 （2011年山東卷理9）函數y=x2-2sinx的圖像大致是（ ）.

A

B

C

D

分析 函數是定義在R上的奇函數，故排除A選項；令f（x）=x2-2sinx，則f′（x）=12-2cosx，所以該函數的單調性不斷變化且呈周期性變化，故排除B；當x>2π時，x2>π，2sinx≤2，即當x>2π時，恒有f（x）>0，故選擇C.

評注 該函數并不能直接由某一個基本初等函數經過變換而來，因此，我們直接對其進行定性和定量的分析.對于含有三角函數的式子，對其求導并發現它的單調區間是呈周期性變化的，并注意到正余弦函數的有界性也是解題的關鍵.

例4 （2013年四川卷理7）函數y=x33x-1的圖像大致是（ ）.

A

B

C

D

分析 由函數解析式可得，該函數定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），故排除A；當x<0時，x3<0，3x-1<0，故此時y>0，故排除B；當x趨于+∞時，3x-1遠遠大于x3的值且都為正，故x33x-1趨于0且大于0，排除D，故選C.

評注 該函數并不能直接由某一個基本初等函數經過變換而來，因此，我們直接對其進行定性和定量的分析.在分析x<0的部分時，也可定量選取當x=-1時，相應的函數值y=（-1）33-1-1=32>0來排除B選項.

例5 （2016年新課標全國卷理7）函數y=2x2-e|x|在[-2，2]的圖像大致為（ ）.

A

B

C

D

分析 函數y=2x2-e|x|在[-2，2]上是偶函數，令f（x）=2x2-e|x|，當x∈[0，2]時，f′（x）=4x-ex，f′14·f′（1）=（1-e14）（4-e）<0，因此，在14，1內存在一點x0使f（x）的導數值為零，且x0是極小值點，由此排除A、C選項；取x=2，f（2）=8-e2，0<8-e2<1，所以排除B選項，故選D.

評注 該函數并不能直接由某一個基本初等函數經過變換而來，因此，我們直接對其進行定性和定量的分析.由四個選項來看，圖像均關于y軸對稱，不同之處在于相同區間內的單調性和x=±2時函數值與1的大小關系，所以從這兩方面去分析便可選出正確答案.